שוין א שטיק צייט וואס איך ארבעט אויף א מאטעמאטישן לערנביכל אויף אידיש, דורכצוגיין די יסודות פונעם פעלד פאר מתחילים און צו אנטוויקלן די טעכנישע שפראך אויף צו קענען אדורכטון די נושאים אויף א קלארן און פונקטליכן אופן. ביז דערווייל האב איך ביי מיר אפגעשריבן אפאר קאפיטלעך און איך ווייס נישט צי ס'וועט מיר אויסקומען צו פארענדיגן דעם פראיעקט. האב איך מיר בארעכנט אז איך זאל כאטש מזכה זיין דעם עולם מיט די קאפיטלעך וואס איך האב שוין סיי ווי פארענדיגט, און אפילו אויב איך וועל נישט אניאגן צו שרייבן נאך, וועט דאס אויך זיין א תועלת. מצד שני קען גאר זיין אז די אויפנאמע און פידבעק פונעם עולם וועט מיר מחזק זיין צוריקצוגיין צום שרייבטישל און ממשיך זיין מיט דער עבודה.
שטעל איך דא פאר דעם ערשטן קאפיטל מיט דער האפענונג צוצולייגן נאך מיט דער צייט און לויטן אפרוף פון די ליינער.
נומערן זענען אַבסטראַקטע באגריפן, וואס עקזיסטירן אומאפהעניג פון דער סיסטעם פון סימבאלן וואס אונז ניצן זיי אויסצודריקן. צב"ש, דער נומער זיבן הונדערט און צוואנציג קען מען שרייבן סיי 720 און סיי תש"כ, הגם אז אין דער ערשטער סיסטעם ניצן מיר איין סימבאל (7) פארן זיבן הונדערט און צוויי סימבאלן (20) פארן צוואנציג, אבער פארקערט אין דער צווייטער סיסטעם. מערקט אן אז אין דער ערשטער סיסטעם איז עס נישט נאר די באזונדערע סימבאלן וואס באַטייטן דעם נומער, נאר אויך זייער סדר: 720 איז א גאנץ אנדערער נומער ווי 270 אדער 702, בשעת ווען אין דער צווייטער סיסטעם, הגם אז עס איז נישט ריכטיג צו פארענדערן דעם סדר און שרייבן למשל תכ"ש אדער כת"ש, באדייט עס אבער נישט אן אנדערן נומער, און טייל מאל שרייבט מען טאקע אזוי אלס מליצה. למעשה ווערט דער נומער געשאפן דורכן צוזאמרעכענען די ווערט פון יעדן סימבאל באזונדער אן דעם וואס זיי זאלן האבן ספעציפישע באציאונגען איינער מיטן צווייטן.
עס זענען פאראן פיל אנדערע סיסטעמען וואס די מענטשהייט האט אנטוויקלט און פארלויף פון איר היסטאריע, ווי צום ביישפיל די רוימישע-ציפערן סיסטעם (I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X אא"וו), אבער אין מאטעמאטיק ניצט מען געווענליך א פלאץ ווערט סיסטעם. די מערסט באקאנטע פלאץ-ווערט סיסטעם איז די דעצימאלע סיסטעם וואס ניצט די הינדו-אראבישע נומערן[2].
די דעצימאלע סיסטעם פארמאגט צען סימבאלן וואס מען ניצט פאר די נומערן צווישן נול און ניין:
יעדעס פלאץ האט א ווערט צען מאל מער פון דעם פלאץ אויף זיין רעכטן זייט. נאך טויזנטער קומען די צען טויזנטער, דערנאך די הונדערטער טויזנטער, דאן די מיליאנען (טויזנט טויזנטער איז א מיליאן), די צענדליגער מיליאנען, די הונדערטער מיליאנען, דאן די ביליאנען (טויזנט מיליאן איז א ביליאן), די צענדליגער ביליאנען, די הונדערטער ביליאנען, דאן די טריליאנען (טויזנט ביליאן איז א טריליאן).
צב"ש דער נומער 306 721 593 איז דריי הונדערט און זעקס מיליאן, זיבן הונדערט און איין און צוואנציג טויזנט, פינעף הונדערט און ניין און דרייסיג.
די דעצימאלע סיסטעם איז די מערסט באניצטע סיסטעם אין מאטעמאטיק און אין דער וועלט בכלל. עס ווערט אויך אנגערופן א באזע-צען סיסטעם וויבאלד זי פארמאגט צען באזונדערע סימבאלן און וויבאלד יעדער פלאץ איז ווערט צען מאל מער ווי דעם פריערדיגן. אבער אנדערע פלאץ-ווערט סיסטעמען ווערן אויך באניצט, ספעציעל אין געוויסע פעלדער פון מאטעמאטיק. אן אנדערע סיסטעם וואס ווערט געניצט אסאך, ספעציעל אין אינפאָרמאַטיק (קאמפיוטער וויסנשאפט) איז די צווייער סיסטעם וואס איז א באזע-צוויי סיסטעם. די סיסטעם האט צוויי סימבאלן, 0 און 1, און יעדער פלאץ איז ווערט צוויי מאל מער ווי דעם פריערדיגן. אין דער סיסטעם שרייבט מען די נומערן פון נול ביז צען אזוי:
איבונגען:
לייכט
1. וואס איז די ווערט פונעם 7 אין די פאלגנדע נומערן?
א. 371
ב. 702
ג. 7649
ד. 5927
2. שרייב די פאלגנדע נומערן אין ציפערן.
א. דרייצן
ב. פופציג
ג. איין און זעכציג
ד. דריי הונדערט פיר און זיבעציג
ה. אכט הונדערט און זעקס
ו. הונדערט און צוואנציג
ז. פיר טויזנט
ח. זיבן טויזנט, דריי הונדערט און זעקס און אכציג
ט. עלעף טויזנט און זיבן
3. שרייב די פאלגנדע נומערן מיט ווערטער.
א. 61
ב. 932
ג. 6047
ד. 730
ה. 4009
ו. 45 071
ז. 678 004
ח. 5 093 718
4. שרייב דעם קלענסטן נומער און דעם גרעסטן נומער וואס מען קען מאכן מיט די פאלגנדע ציפערן.
א. 7, 1 און 6
ב. 7, 9, 1 און 8
מיטלמעסיג
5. שרייב די פאלגנדע נומערן אין באזע-צוויי:
א. 17
ב. 12
ג. 23
6. שרייב די פאלגנדע נומערן פון באזע-צוויי אין זייערע דעצימאלע עקוויוואַלענטן:
א. 1111
ב. 11110
ג. 10111
7. באזע-פינעף האט די פינעף סימבאלן 0,1,2,3,4. יעדער פלאץ איז ווערט פינעף מאל מער ווי זיין שכן אויף דער רעכטער זייט. שרייב די פאלגנדע נומערן אין באזע-פינעף:
א. 5
ב. 10
ג. 7
ד. 13
ה. 15
ו. 25
8. באזע-12 האט די פאלגנדע 12 סימבאלן:
א. 13
ב. 22
ג. 24
ד. 144
אויף צו קלערן ווייטער:
1. (פילאָזאָפיש) אונז האבן געלערנט אז, "נומערן זענען אַבסטראַקטע באגריפן, וואס עקזיסטירן אומאפהעניג פון דער סיסטעם פון סימבאלן וואס אונז ניצן זיי אויסצודריקן." וואו אויף דער וועלט און אויף וועלכן אופן עקזיסטירן די מאטעמאטישע באגריפן און אביעקטן? צי אנטדעקן מיר מאטעמאטישע פאקטן און אביעקטן וואס עקזיסטירן שוין פון פריער, אדער צי קאָנסטרוּאירן מיר און באשאפן מיר זיי פאר אונזערע געברויכן?
2. וואס זענען די מעלות פון ניצן די דעצימאלע, באזע-10 סיסטעם? קענט איר טראכטן פון סיבות צו ענדערשער ניצן א סיסטעם מיט אן אנדערער באזע?
3. (אַדוואַנצירט) קענט איר אויפקומען מיט אן אלגאָריטעם צו אויטאמאטיש איבערטייטשן א נומער פון איין באזע אוןיף א צווייטער?
[1] פאר געוויסע צוועקן ווערט דער נומער נול, 0, אויך פארעכנט אלס א נאטורליכן נומער, אבער נישט אייביג. דארט וואו עס מאכט אויס, דארף מען קלאר מאכן צי מען רעכנט אריין נול צי נישט.
[2] דאס ווערט אזוי אנגערופן וויבאלד די סיסטעם זעלבסט קומט פון אינדיע, אבער די סימבאלן קומען פון די אראבער. אין אייראפע האט מען אנגעהויבן ניצן די סיסטעם אינעם מיטלאלטער.
[3] אונז גייען ניצן די ווערטער 'נומער' און 'ציפער' צו באדייטן צוויי באזונדערע באגריפן. צב"ש דער נומער 237 איז איין נומער (צוויי הונדערט זיבן און דרייסיג), מיט דריי ציפערן: 2, 3 און 7.
[4] הגם אז געווענליך אין מאטעמאטיק שרייבט מען נומערן און סימבאלן פון לינקס אויף רעכטס.
שטעל איך דא פאר דעם ערשטן קאפיטל מיט דער האפענונג צוצולייגן נאך מיט דער צייט און לויטן אפרוף פון די ליינער.
1. נומערן
1.1 פלאץ ווערט
מיר וועלן אנהייבן מיט די נאטורליכע נומערן. נאטורליכע נומערן ציילן די סארט זאכן וואס מען קען טרעפן אין נאטור, צום ביישפיל: איין עפל, דריי ביימער, הונדערט און איין קאטשקעס. דער ערשטער (קלענסטער) נאטורליכער נומער איז איינס[1], דערנאך צוויי, און אזוי ווייטער. עס איז נישט דא קיין "העכסטן" נאטורליכן נומער, וויבאלד סיי וועלכער נומער אויף וועלכן מען קען זאגן אז ער איז דער העכסטער, קען מען פשוט צולייגן נאך איינס צו דעם נומער צו מאכן א נייעם העכערן נומער.נומערן זענען אַבסטראַקטע באגריפן, וואס עקזיסטירן אומאפהעניג פון דער סיסטעם פון סימבאלן וואס אונז ניצן זיי אויסצודריקן. צב"ש, דער נומער זיבן הונדערט און צוואנציג קען מען שרייבן סיי 720 און סיי תש"כ, הגם אז אין דער ערשטער סיסטעם ניצן מיר איין סימבאל (7) פארן זיבן הונדערט און צוויי סימבאלן (20) פארן צוואנציג, אבער פארקערט אין דער צווייטער סיסטעם. מערקט אן אז אין דער ערשטער סיסטעם איז עס נישט נאר די באזונדערע סימבאלן וואס באַטייטן דעם נומער, נאר אויך זייער סדר: 720 איז א גאנץ אנדערער נומער ווי 270 אדער 702, בשעת ווען אין דער צווייטער סיסטעם, הגם אז עס איז נישט ריכטיג צו פארענדערן דעם סדר און שרייבן למשל תכ"ש אדער כת"ש, באדייט עס אבער נישט אן אנדערן נומער, און טייל מאל שרייבט מען טאקע אזוי אלס מליצה. למעשה ווערט דער נומער געשאפן דורכן צוזאמרעכענען די ווערט פון יעדן סימבאל באזונדער אן דעם וואס זיי זאלן האבן ספעציפישע באציאונגען איינער מיטן צווייטן.
עס זענען פאראן פיל אנדערע סיסטעמען וואס די מענטשהייט האט אנטוויקלט און פארלויף פון איר היסטאריע, ווי צום ביישפיל די רוימישע-ציפערן סיסטעם (I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X אא"וו), אבער אין מאטעמאטיק ניצט מען געווענליך א פלאץ ווערט סיסטעם. די מערסט באקאנטע פלאץ-ווערט סיסטעם איז די דעצימאלע סיסטעם וואס ניצט די הינדו-אראבישע נומערן[2].
די דעצימאלע סיסטעם פארמאגט צען סימבאלן וואס מען ניצט פאר די נומערן צווישן נול און ניין:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
צו ציילן העכער ווי ניין, דארף מען נעמען אין באטראכט די ווערט פונעם פלאץ אויף וואס דער ציפער[3] ליגט. דער ערשטער פלאץ האט א ווערט פון איינצלנער, דער צווייטער פלאץ איז ווערט צענדליגער, דער דריטער הונדערטער, דער פערטער טויזנטער, אא"וו. די 'פלעצער' ווערן גערעכנט פון רעכטס אויף לינקס[4], אזוי אז דער נומער 5073 האט דריי איינצלנער (ד.ה. דריי), זיבן צענדליגער (ד.ה. זיבעציג), נול הונדערטער, און פינעף טויזנטער (ד.ה. פינעף טויזנט). אלעס צוזאמען האבן מיר פינעף טויזנט און זיבן און דרייסיג. דער 0 איז דארט אינעם דריטן פלאץ פשוט כדי אז די 5 זאל זיין אויפן פערטן פלאץ, אנדייטנדיג א ווערט פון טויזנטער.יעדעס פלאץ האט א ווערט צען מאל מער פון דעם פלאץ אויף זיין רעכטן זייט. נאך טויזנטער קומען די צען טויזנטער, דערנאך די הונדערטער טויזנטער, דאן די מיליאנען (טויזנט טויזנטער איז א מיליאן), די צענדליגער מיליאנען, די הונדערטער מיליאנען, דאן די ביליאנען (טויזנט מיליאן איז א ביליאן), די צענדליגער ביליאנען, די הונדערטער ביליאנען, דאן די טריליאנען (טויזנט ביליאן איז א טריליאן).
צב"ש דער נומער 306 721 593 איז דריי הונדערט און זעקס מיליאן, זיבן הונדערט און איין און צוואנציג טויזנט, פינעף הונדערט און ניין און דרייסיג.
די דעצימאלע סיסטעם איז די מערסט באניצטע סיסטעם אין מאטעמאטיק און אין דער וועלט בכלל. עס ווערט אויך אנגערופן א באזע-צען סיסטעם וויבאלד זי פארמאגט צען באזונדערע סימבאלן און וויבאלד יעדער פלאץ איז ווערט צען מאל מער ווי דעם פריערדיגן. אבער אנדערע פלאץ-ווערט סיסטעמען ווערן אויך באניצט, ספעציעל אין געוויסע פעלדער פון מאטעמאטיק. אן אנדערע סיסטעם וואס ווערט געניצט אסאך, ספעציעל אין אינפאָרמאַטיק (קאמפיוטער וויסנשאפט) איז די צווייער סיסטעם וואס איז א באזע-צוויי סיסטעם. די סיסטעם האט צוויי סימבאלן, 0 און 1, און יעדער פלאץ איז ווערט צוויי מאל מער ווי דעם פריערדיגן. אין דער סיסטעם שרייבט מען די נומערן פון נול ביז צען אזוי:
0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010.
אלע מאטעמאטישע חשבונות וואס אונז גייען לערנען קען מען אויך אויספירן מיט דער צווייער סיסטעם אדער מיט סיי וועלכער סיסטעם, אבער דא גייען אונז זיך באניצן בעיקר מיט דער דעצימאלער סיסטעם.
איבונגען:
לייכט
1. וואס איז די ווערט פונעם 7 אין די פאלגנדע נומערן?
א. 371
ב. 702
ג. 7649
ד. 5927
2. שרייב די פאלגנדע נומערן אין ציפערן.
א. דרייצן
ב. פופציג
ג. איין און זעכציג
ד. דריי הונדערט פיר און זיבעציג
ה. אכט הונדערט און זעקס
ו. הונדערט און צוואנציג
ז. פיר טויזנט
ח. זיבן טויזנט, דריי הונדערט און זעקס און אכציג
ט. עלעף טויזנט און זיבן
3. שרייב די פאלגנדע נומערן מיט ווערטער.
א. 61
ב. 932
ג. 6047
ד. 730
ה. 4009
ו. 45 071
ז. 678 004
ח. 5 093 718
4. שרייב דעם קלענסטן נומער און דעם גרעסטן נומער וואס מען קען מאכן מיט די פאלגנדע ציפערן.
א. 7, 1 און 6
ב. 7, 9, 1 און 8
מיטלמעסיג
5. שרייב די פאלגנדע נומערן אין באזע-צוויי:
א. 17
ב. 12
ג. 23
6. שרייב די פאלגנדע נומערן פון באזע-צוויי אין זייערע דעצימאלע עקוויוואַלענטן:
א. 1111
ב. 11110
ג. 10111
7. באזע-פינעף האט די פינעף סימבאלן 0,1,2,3,4. יעדער פלאץ איז ווערט פינעף מאל מער ווי זיין שכן אויף דער רעכטער זייט. שרייב די פאלגנדע נומערן אין באזע-פינעף:
א. 5
ב. 10
ג. 7
ד. 13
ה. 15
ו. 25
8. באזע-12 האט די פאלגנדע 12 סימבאלן:
0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B
ווי A שטייט פאר 10 און B פאר 11 (אין דער דעצימאלער סיסטעם). 12 שרייבט מען 10. שרייב די פאלגנדע נומערן אין באזע-12:א. 13
ב. 22
ג. 24
ד. 144
אויף צו קלערן ווייטער:
1. (פילאָזאָפיש) אונז האבן געלערנט אז, "נומערן זענען אַבסטראַקטע באגריפן, וואס עקזיסטירן אומאפהעניג פון דער סיסטעם פון סימבאלן וואס אונז ניצן זיי אויסצודריקן." וואו אויף דער וועלט און אויף וועלכן אופן עקזיסטירן די מאטעמאטישע באגריפן און אביעקטן? צי אנטדעקן מיר מאטעמאטישע פאקטן און אביעקטן וואס עקזיסטירן שוין פון פריער, אדער צי קאָנסטרוּאירן מיר און באשאפן מיר זיי פאר אונזערע געברויכן?
2. וואס זענען די מעלות פון ניצן די דעצימאלע, באזע-10 סיסטעם? קענט איר טראכטן פון סיבות צו ענדערשער ניצן א סיסטעם מיט אן אנדערער באזע?
3. (אַדוואַנצירט) קענט איר אויפקומען מיט אן אלגאָריטעם צו אויטאמאטיש איבערטייטשן א נומער פון איין באזע אוןיף א צווייטער?
גלאסאר
| [די] באזע-צוויי | Base-two n. |
| [די] באזע-צען | Base-ten n. |
| [די] דעצימאַלע סיסטעם | Decimal system n. |
| הינדו-אראביש | Hindu-Arabic adj. |
| [די] מאַטעמאַטיק | Mathematics n. |
| [דער] נאַטורליכער נומער | Natural number n. |
| [דער] פּלאַץ ווערט | Place value n. |
| [די] צווייער סיסטעם | Binary system n. |
| [דער] ציפער | Figure n. |
| [דער] רוימישער ציפער | Roman numeral n. |
[1] פאר געוויסע צוועקן ווערט דער נומער נול, 0, אויך פארעכנט אלס א נאטורליכן נומער, אבער נישט אייביג. דארט וואו עס מאכט אויס, דארף מען קלאר מאכן צי מען רעכנט אריין נול צי נישט.
[2] דאס ווערט אזוי אנגערופן וויבאלד די סיסטעם זעלבסט קומט פון אינדיע, אבער די סימבאלן קומען פון די אראבער. אין אייראפע האט מען אנגעהויבן ניצן די סיסטעם אינעם מיטלאלטער.
[3] אונז גייען ניצן די ווערטער 'נומער' און 'ציפער' צו באדייטן צוויי באזונדערע באגריפן. צב"ש דער נומער 237 איז איין נומער (צוויי הונדערט זיבן און דרייסיג), מיט דריי ציפערן: 2, 3 און 7.
[4] הגם אז געווענליך אין מאטעמאטיק שרייבט מען נומערן און סימבאלן פון לינקס אויף רעכטס.
