- זיך איינגעשריבן
- אקט. 28, 2024
- מעסעדזשעס
- 214
- רעאקציע ראטע
- 539
- פונקטן
- 113
איינס מיט איינס איז צוויי.
פשוט, נישט אזוי?
יעצט קען זיין די ביסט גערעכט, אבער פאר מ'גייט צי איינס מיט איינס, דארף מען זען וואס מיינט איינס בכלל...
איינס? איינס מיינט איין זאך! נישט אזוי?
אבער לאמיר זאגן אז איך בין יעצט די ערשטע מאל דא אויף די פלאנעט, איך קום צי צו דיך אין איך בעט דיך אז די זאלסט מיך מסביר זיין וואס מיינט איינס, וואס וואלסטו מיך געענטפערט?
אויב דיין תירץ וואלט געווען אז איינס מיינט איין זאך און נישט צוויי, דעמאלטס וואס האסטו מיך גענפערט איך ווייס נאך נישט וואס מיינט איין...
בקוציר, נומערן זענען נאך גארנישט ביז ווילאנג די שטעלסט עס נישט צי א דבר גשמי, ביז ווילאנג די רעדסט פון דעם אליין פארשטייט מען נישט קיין ווארט.
דאס איז טאקע די סיבה פארוואס מאטעמאטיק האט ביז אפאר הונדערט יאר צוריק נישט געהאט קיין שיכות מיט די וועג ווי אזוי מען ניצט מאטעמאטיק היינט.
אלע מאטעמאטיק אמאל, אריינגערעכנט: פשוטע מאטעמאטיק, געמאטריע, עלדזשעברע, וכו' איז באשטאנען בעיקר פין פארומעס, דאס הייסט ווען מען האט געוואלט ציזאם רעכענען 30 מאל 40 האט מען זיך פארגעשטעלט כאילו די האסט א באקס וואס אויף איין זייט איז עס 30 פיס אין אויף די אנדערע זייט איז עס 40 פיס וויפיל סקווער פיס גייט די באקס האבן אין זיך? עס איז נישט געווען אזא מושיג ווי זאגן סתם 30 מאל 40, ווייל וואס מיינט 30 ?
בלערך 2500 יאר צוריק איז געווען א מאטעמאטיקער, געהייסן האט ער "אוקליד" (euclid), ער האט אפגעמאכט ביי זיך אז ער נעמט אויף זיך א מיסיע צו מאכן א סך הכל פון אלע מאטעמאטיק וואס איז געווען באוויסט ביז יענע צייט און ער וועט עס צוזאמנעמען אין איין גרויסע בוך, ער האט אריינגעלייגט אסאך ארבעט דערין אין נאך אפאר יאר וואס די גאנצע וועלט איז געשטאנען געשפאנט צי זען וואס עס גייט ווערן פון די חלומות פון אוקליד, איז ער ארויסגעקימען מיט זיין נייע סעריע פון ביכער וואס ער האט געריפן "די עלעמענטן (The Elements).
די ביכער זענען ציכאפט געווארן מיט גרויס אימפעט אין די סקונדע וואס עס איז ארויסגעקימען, און מען האט דאס געדארפט האלטן אין איין איבערשרייבן, דורך אויס די 2000 יאר וואס איז פאריבער פון דאן זענען שוין פארקויפט געווארן שווערע מיליאנען פון די ביכער, ווען די דרוק-מאשין איז ערפינדן געווארן און יאר 1440, איז די פארלאנג דראמאטיש ארויפגעשרויפט געווארן, עד כדי כך אז עס איז געווארן די צווייט מערסטע געדריקטע ביך זייט די ערפינדונג פונעם דרוק-מאשין (נאך די בייבל)!
אין די סעריע איז געווען 13 שווערע גרויסע ביכער אין דעם איז געווען שווערע בלעטער אנגעפילט מיט אלע קאמפליצירטע חשבונות איבער אלע סארטן מאטעמאטיק וואס איז געווען באוויסט אין יענע צייט ציזאם גענומען אין איין לאנגע באשרייבונג.
מאטעמאטיק אין יענע צייט האט געהאט א פראבלעם, ווען מען האט געפרעגט א מאטעמאטיקער פון ווי ער ווייסט עפעס וואס ער האט אוועק געשטעלט, האט ער געענטפערט פון דא אין דא, האט מען אים געפרעגט "און פון ווי ווייסטו דאס"? האט ער געזאגט "פון דאס אין דאס" האט מען אים געפרעגט "אבער פון ווי ווייסטו דאס?" האט ער געענטפערט "פון דאס אין דאס" אא"וו, צום סוף איז מען אנגעקומען צי די פלאץ ווי מען האט אנגעהויבן, דאס האט געמיינט אז די האסט נישט קיין אויפווייז פאר גארנישט, אוקליד האט געוואלט זיין סיסטעם פוו מאטעמאטיק זאל זיין געבויט אויף א מהלך אז אלעס זאל זיין קלאר אויפגעוויזן, דערפאר האט אוקליד אפגעמאכט צי נוצן א מהלך אנצוהייבן זיינע חשבונות, וואס איז שוין געווארן געניצט דורך די גריכן פאר זייערע פיליזאפישע חשבונות, עס הייבט זיך אן מיט 5 יסודות וואס יעדער איז מודה דערצו אין עס דארף נישט קיין ראיות, איינמאל די יסודות זענען שוין אוועק געשטעלט און אלעס שטימט שוין קען מען ציביסלעך שטייטלעך שטייטלעך אנהייבן צו בויען אויף דעם.
למשל אויב מיינע משלים זענען
1)האלץ איז ברוין.
2)א בוים איז געמאכט פון האלץ.
קומט אויס אז איך קען יעצט אליין מאכן דעם חשבון:
אויב האלץ איז ברוין און א בוים איז האלץ, קומט יעצט אויס אז עס איז פשוט אז א בוים איז ברוין.
אדער אויב מיינע 2 כללים זענען
1) 5 אזייגער ווערט טונקל .
2) ווען עס ווערט טונקל קען מען דאווענען מעריב.
פארשטייט יעדער אז פין די 2 כללים איז פשוט אז 5 אזייגער קען מען דאווענען מעריב, אזוי איז דא אסאך אזאנע משלים.
אבער ווען איינער זאגט אז 5 אזייגער קען מען דאווענען מעריב, אויב יענער ווייסט נישט די 2 פריערדיגע כללים, האט יענער נישט וויאזוי עס אויפציווייזן, איז עס א סטעיטמענט אן קיין באווייז.
יעצט, אוקליד האט אנגעהויבן זיין באווייז אויף אלעס מיט 5 כללים, די ערשטע 4 זענען זייער פשוט, ווי פאלגענד.
1)צווישן 2 פוינטס קען מען מאכן א גראדע שטריך.
2)יעדע ליין קען מען ארויסציען צו ביידע זייטן ווי לאנג מען וויל אן קיין אפהאלט.
3)אויב מען האט א פוינט און אויך א נומער פון א ווייטקייט פין די פוינט (א רעדיוס), קען מען מאכן א קרייז וואס די מיטן פון די קרייז איז אזוי ווייט פון עקן, ווי די אווקגעשטעלטע נומער פון די ווייטקייט.
4)די עק פון א פינקטליכע קעסטל גייט אייביג זיין ניינציג דעגרי (יעדע רינדעכיגע קרייז (סורקל) ווערט ציטיילט אין 360 חלקים, און ווען מען וויל זאגן "א פערטל קרייז" זאגט מען: ניינציג דעגרי).
5)אויב מען האט 2 שטריכן אין די ברייט אין איין שטריך אין די הייעך, אין די ענגל פון די שטריך פון אויבן און אינטען ציזאמען אנטקעגן די שטריך אין די הייעך קומען אויס ווייניגער ווי 180 דעמאלטס איז בהכרך אז ערגעץ שפעטער גייען די 2 שטריכן אין די ברייט, זיך ציזאמטרעפן...
דאס איז נישט קיין יסוד?! דאס איז נישט פשוט?!
לכאורה איז דאס א ציזאמשטעל פין אסאך יסודות אין כללים! דאן וואס זיצט ער צווישן די יסודות?
פאר צוויי טויזענט יאר האבן זיך די גרעסטע קעפ אין די שטערקסטע מאטעמאטיקער געבראכן קאפ אין פראבירט צי פארשטיין אין מסביר זיין די פונפטע יסוד, אבער אן ערפאלג, עס האט אויס געזען ווי עס איז אריינגעפאלן בטעות עס ברויך באמת זיין ביי די זאכן וואס ווערן אויפגעוויזן דורך די יסודות און נישט ביי צווישן די יסודות אליין.
אבער אויב עס איז נישט קיין יסוד, דארף מען דאס קענען אויפווייזן פון די ערשטע פיר יסודות, ווייל יעדע אמת'ע זאך שטאמט דאך באמת פון די יסודות אין אויב עס איז נאר דא 4 יסודות דארף מען אלעס קענען אויפווייזן פון די פיר יסודות, אין דאס איז טאקע וואס אסאך פין יענע צייט האבן פרובירט צי טון צווישן זיי "פעטאלעמי" אין "פראקלעס" אין נאך אסאך, יעדער האט פראבירט אויפציווייזן די פינפטע יסוד פון די ערשטע פיר, אין געוויסע האבן געגלייבט אז זיי האבן מצליח געווען, זיי האבן גע'טענט אז זיי האבן אויפגעוויזן די פינפטע יסוד פון די ערשטע פיר יסודות, קומט אויס אז די פינפטע איז נישט קיין יסוד נאר עס ווערט אויפגעוויזן דורך די יסודות.
אבער שפעטערדיגע אזוי ווי "אל העיטעם" און "אומאר קאיעם" האבן אויפגעוויזן אז די אלע מהלכים האבן גארנישט אויפגעוויזן פון די ערשטע פיר יסודות, די איינציגסטעזאך וואס זיי האבן געטאן איז אז זיי האבן אביסל ארומגעטוישט די וועג ווי אזוי די פינפטע יסוד איז געשריבן, א באקאנטע מהלך איז געווען אז די פינפטע יסוד גייט אזוי:
ווען איך האב א גראדע שטריך אין איך האב אויך א פוינט וואס איז נישט אויף די שטריך, איז נאר דא איין מהלך פון צילייגן א שטריך צי די פוינט, אין עס זאל זיין די זעלבע וועג אויסגעלייגט ווי די ערשטע שטריך (דאס הייסט פאראלעל צי די ערשטע שטריך), אבער אז מען טראכט אביסל טיפער זעט מען אז באמת איז עס די זעלבע זאך מיט די זעלבע קשיות פון פריער, איז לכאורה גארנישט פארענפערט געווארן.
האט אל העיטעם פראבירט אויפציווייזן די פאלשקייט דורך א צווייטע מהלך, דורך טרעפן א סתירה.
דאס הייסט מען פראבירט אנצינעמען אז די פינפטע יסוד איז פאלש אין מען זעט צי די יסודות שטימען נאך אלץ, דאס הייסט מען קוקט אויף די טעאריעס וואס מען האט געהאט אויפגעבויט ניצענדיג די פינפטע יסוד אין מען זעט צי עס שטימט נאך אלץ, אויב יא גייט מען ווייטער צי די טעאריע וואס מען האט געבויט אויף די פריערדיגע טעאריע אויב עס שטימט גייט מען ווייטער אין ווייטער ביז מען קומט אן צום סוף, אין אויב עס שטימט איז אויפגעוויזן געווארן אז די ארגינעלע יסוד איז געווען פאלטש, אבער אויב עס שטימט נישט אדער מען טרעפט א סתירה אין די נייע טעאריע מיז זיין אז די אלטע איז אמת, דאס ווערט געריפן PROOF BY CONTRADICTION.
אויב די אלטע יסוד איז פאלטש דעמאלטס קומט אויס אז אויף א פוינט נעבן א שטריך איז בכלל נישט דא קיין וועג צי מאכן א שטריך פון די פוינט, וואס עס גייט זיין פאראלעל צי די שטריך, אבער דאס קען נישט זיין אמת ווייל די צווייטע יסוד זאגט דאך אז יעדע שטריך קען ווערן אויסגעצויגן אן קיין סוף, אין אויב נעם איך אן אז א פוינט נעבן א שטריך קען בכלל נישט האבן קיין שטריך פאראלעל צי די אנדערע, מוז זיין אז די צווייטע יסוד איז פאלטש, אלא מאי קען נישט שטימען די נייע יסוד.
אבער עס איז דא נאך א וועג צי זאגן אז די פינפטע יסוד איז פאלטש, מען קען זאגן אז א פוינט נעבן א ליין קען האבן מער ווי איין שטריך וואס איז פאראלעל צי די ערשטע שטריך.
אזוי האט מען טאקע געטאן אין מען האט אנגעהויבן צי זיכן סתירות צווישן די ארומגעטוישטע פינפטע יסוד אין די אנדערע יסודות און טעאריעס, אבער וויפיל מען האט געזיכט האט מען נישט געטראפן, אל העיטעם איז געווען זיכער אז ער האט געטראפן א ראי' אז די פינפטע יסוד איז פאלטש (עס איז וויכטיג אנצימערקן אז אל העיטעם האט נישט פראבירט צי טרעפן א צווייטע אלטערנאטיוו פאר די פינפטע יסוד,
ער האט בלויז געוואלט אויפווייזן אז די פינפטע יסוד איז פאלטש, ווייל אפילו זיין פארטוישטע יסוד האט אויך די זעלבע קשיות וואס איז דא אויפן ערשטען ).
אבער ווי אזוי האט אזא מאטעמאטיקער ווי אוקליד דאס טאקע פארזען? פאר הונדערטער יארן האבן מאטעמאטיקער פראבירט צי טרעפן א סתירה אין אל העיטענ'ס מהלך אבער זיי זענען אין ערגעץ נישט אנגעקימען, איז לכאורה איז קלאר אז אוקליד איז נישט געווען גערעכט, ניין? אבער למעשה ווען מען קיקט אויפן מציאות זעט מער אויס ווי אוקליד איז גערעכט ווייל במציאות איז נישט מעגליך צי אויסשטעלן 2 שטריכן אויף איין פוינט איז עס זאל זיין אויף די זעלבע גראדקייט, איינס גייט מיזן זיין מער שיף פונעם צווייטן אויב נישט איז עס דאך איין שטריך, דעמאלטס אויב איז עס נישט שייך במציאות דאן איז יא אוקליד גערעכט...
אזוי זענען די סייענטיסטן און מאטעמאטיקער געווען ציקריגט צווישן זיך די פאר די לעצטע פאר הודערט יאר צו אוקליד איז געווען גערעכט צי נישט.
ביז, אין יאר 1820 האט א 17 יעריגע קינד מיטן נאמען באליא' (János Bolyai) אנגעהויבן צי פארשן אוקליד'ס ווערק, ער האט אוועק געגעבען פון זיך שעות אויף שעות צי פארשן און דערגריטעווען א וועג ווי אזוי עס זאל יא זיין א מהלך אז עס זאל זיין צוויי שטריכן אויף איין פוינט אין עס זאל יא זיין פאראלעל איינס צום צווייטן, ער האט אוועק געגעבען טעג און נעכט, וואכן, חדשים, און יארן און אפילו אין מיטן זיין ארבעט האט אים זיין טאטע (אויך א גרויסע מאטעמאטיקער) געשיקט א בריוו ווי ער בעט זיך ביי אים ער זאל אויפגעבן אויףזיין ארבעט ווייל ער גייט סייווי נישט אנקומען אוןערגעץ און ער פארפאטשקעט סתם זיינע יוגנט יארןפאר עפעס וואס איז אוממעגליך צו באווייזן, האט באליא' אוגנארירט זיין פאטערס בריוו'ן און ווייטער געארבעט אויף דעם פאר יארן.
ביז, און יאר 1823 איז פאר באליא' איינגעפאלן אז ווער זאגט אז אונז מוזן מאכן אונזערע מעסטונגען און רעכענונגען אין א פלאכע וועלט? אפשר קען מען רעכענען די גאנצע זאך אין געבויגענע פלאץ, דאס הייסט די פלאץ די שטח, און וואס מיר רעכענען קען זיין ציבויגן, און אין אזא וועלט איז מעגליך צי מאכן מער ווי איין שטריך אויף א ליין וואס גייט זיין פאראלעל צו א אנדערע שטריך, וועסטו פרעגן די שטריך איז דאך ציבויגן? די תירץ איז אז די שטריך איז באמת גראד נאר די פלאץ אין ווי די שטריך איז, איז ציבויגן....
די זאך וואס מאכט א גראדע שטריך אנדערש ווי א ציבויגענע איז נאר א גראדע שטריך איז די קורצע וועג וואס מען קען נעמען צווישן 2 נקודות, אבער אין א ציבויגענע שטח איז די קורצע וועג צווישן 2 נקודות א ציבויגענע שטריך, און אויב מען בייגט עס א געוויסע וועג גייען זיין אפאר מהלכים וואס גייען זיין די קורצע וועג צווישן 2 נקודות און עס גייט נאך אלטץ זיין פאראלעל איינס צום צווייטן.
א מער פארשטענדליכע משל איז, אז אן ערעפלאן גייט אייביג נעמען די קורצע וועג צווישן 2 לענדער,אבער אויב נעמט מען די רייזע פון אן ערעפלאן און מען קוקט עס אויף א גראדע מאפע גייט עס אויסזען געבויגן, ווייל באמת איז דאך די וועלט רינדעכיג, נאר דו קוקסט עס אויף א פלאכע מאפע!
א אנדערע מהלך ווי אל היטענס וועג אין די פינפטע יסוד קען שטימען איז אויף א רינדעכיגע שטח, אין א רינדעכיג שטח איז פאראלעל ליינס גרויסע צירקלען אויף א רינדעכיגע באלל און דארט איז אויך מעגליך צו זיין מער ווי איין פאראלעל ליינס אויף איין פוינט, ווייל אויב צוויי מענטשען אויף צוויי אנדערע פלעצער אויף דער הייבן אן צי שפאצירן און א גראדע ליניע צו דער נארט פאול גייט אויסקומען אן אינטערעסאנטע מציאות, פאר איינער וואס שטייט אינדרויסן פון די וועלט גייט אויסקוקן ווי עס איז דא עפעס א מיסטעריעזע כח וואס שטיפט ציזאם די צוויי מענטשן איינס צום צווייטן, און זיי גייען באמת ווערן נענטער איינס צום צווייטן, אפילו זיי גייען גראד און זיי האבן ביי זיך אפגעמאכט אז זיי גייען זיך נישט איינדרייען און ערגעץ גייען זיי צום סוף ווערן נענטער און נענטער ביז זיי גייען זיך ציזאמטרעפן.
די סיבה פארוואס א באלל פירט זיך אויף די זעלבע ווי א קנייטש און ציבויגענע פלאץ איז ווייל א באלל איז בעצם אויך א קנייטש, נאר אנשטאט א קנייטש אריין איז עס א קנייטש אויף ארויס אבער עס איז נאך אלץ א קנייטש אין מקום (ספעיס), אבער עס גייט זיך אויפפירן פינקט פארקערט ווי קנייטש אריין ווייל עס איז פונקט פארקערט.
למשל: א טרייענגל (א דריי עק) און פלאכע פלאץ, ווען מען וועט אויסרעכענען די סך הכל פון אלע ענגלס צוזאמען גייט אייביג נישט קיין חילוק ווי אזוי די טרייענגל איז אויסגעשטעלט אויסקומען צו 180,אבער און אריינגעקנייטשטע פלאץ גייט א טרייענגל אייביג אויסקומען אז די ענגלס זענען ווייניגער ווי 180 משא"כ און ארויסגעקנייטשטע פלאץ גייען דיענגלס אייביג זיין מער ווי 180.
איינמאל באליא' האט באמערקט אז עס איז דא מער ווי איין מהלך וואס גייט נישט מיט אוקליד'ס מהלך, האט ער געכאפט אז ווער זאגט אז אוקליד האט געמאכט א טעות? אפשר איז די גאנצע סיבה פארוואס ער האט געשריבן די פינפטע יסוד איז נאר געווען צי קלארשטעלן אז ער רעדט פון פלאכע פלאץ.
און טאקע דערפאר איז די פאקט אז א פוינט נעבן א ליין קען נאר האבן איין אנדערע פאראלעל ליין, אבער אויב מ'קען לייגן מער ווי איין ליין אויף א אנדערע פוינט וואס גייט זיין פאראלעל צו די ערשטע, מיינט אז די ביסט אין אריינגעבויגענע פלאץ, אויב קענסטו נישט לייגן קיין איין ליין וואס איז פאראלעל צו די ליין מיינט דאס אז דו ביסט אויף א באלל, איי פריער האט מען דאך געזאגט אז אויב זאג איך אז מען קען נישט מאכן קיין איין ליין אויף די פוינט איז זיך עס סותר מיט די צווייטע יסוד וואס זאגט אז א גראדע ליין קען ווערן ארויסגעצויגן פון ביידע זייטן אן קיין סוף ? און אויף א באלל איז טאקע נישט מעגליך צו מאכן א גראדע ליין אן א סוף ווייל עס איז דאך רינדעכיג און יעדע ליין גייט צוריק קומען צי די זעלבע פלאץ ווי מען האט אנגעהויבן ? נאר די צווייטע יסוד האט במשך די יארן געמאכט אסאך פראבלעמען און סתורות ביי אנדערע מאטעמאטישע חשבונות און די פראבלעמען האבן נישט אויפגעהערט ארויף קומען ביז מען איז געקומען צו א מסקנה אז די צווייטע יסוד האט מען נישט קלאר פארשטאנען און די צווייטע איז נישט אז עס קען ווערן ארויסגעצויגן אין סוף, נאר עס קען ווערן אויסגעצויגן ביז די עק פין די פלאץ ווי די ליין איז.
יעצט ביי א באלל ענדיגט זיך די פלאץ דארט ווי עס הייבט זיך אן, וועגן דעם גייט די ליין אויך זיך ענדיגן דארט ווי עס האט זיך אנגעהויבן.
מיט דעם האט זיך די מאטעמאטישע וועלט אביסל אפגעשטילט פון די שווערע שטורעמעס וואס האטזיך געשאפן פון אוקליד'ס ביך, אלעס האט שויןגעשטימט און יעדער איז געווען ציפרידן.
אבער די שטילקייט האט נישט אנגעהאלטן פאר צולאנג…
אין יאר 1874 איז דער מאטאמאטיקער "קאנטאר" ארויסגעקימען מיט א נייע מהלך פון ניצן מאטאמאטיק אז מען זאל נישט דארפן ניצן קיין פארומען, נאר מען זאל קענען ניצן די נומערן פאר זיך אליין. ער האט דאס געריפן "סעט טעאריע".
ווי אזוי די טעאריע ארבעט איז, אז מען קוקט אן די
גאנצע וועלט ווי א צוזאמשטעל פון סעטס, למשל, עס איז דא א סעט פון אלע בנינים אויף דער וועלט, און די נאמען פאר די סעט איז: "בנינים", אויך איז דא א סעט פון אלע מענטשן אויף אויף דער וועלט, און די נאמען פאר די סעט איז: "מענטשן". אלעס פון דער וועלט ליגט אין א סעט וואס הייסט: "אלעס", און גארנישט ליגט נישט אין די סעט וואס הייסט: "גארנישט"...
קענטאר האט געטראכט אז עס איז דא א סעט וואס הייסט: "נומערן" וואס אין דעם איז דא אן ענדלאזער נומער פון סעטס, די ערשטע סעט הייסט: "איינס", אין די סעט איז דא אלע זאכן וואס איז דא נאר איינס דערפון, נאכדעם איז דא א סעט וואס הייסט: "צוויי" די סעט באשטייט פון אלע זאכן וואס פון דעם איז דא צוויי, דערנאך איז דא דריי, דערנאך פיר און אזוי ווייטער אן קיין סוף.
ווען איינער זאגט פאר איינעם "געב מיך צוויי טאמאטעס" מיינט יענער צו זאגן "געב מיר אזוי פיל טאמאטעס, וויפיל עס איז דא פון אלע זאכן וואס ליגן אין די סעט וואס הייסט צוויי"
אזוי איז אויך דא א סעט פון אלע נומערן ציווישן 0 און 1, ווי למשל 0.6736784 אדער 0.656256. און די סעט איז אויך ענדלאז וויבאלד 0.1 קען מען דאך אויך ציטיילן אין האלב, און 0.05 קען מען אויך ציטיילן און האלב, נישט קיין חוליק ווי א קליינע נומער מען וועט נעמען, קען מען אלץ פרעגן "וואס האסטו זיך אפגעשטעלט דא? ציטייל עס ווייטער?"
האט מען צוויי סעטס (די סעט פון פשוטע נומערן, און די סעט פון נומערן ציווישן זעראו און איינס)וואס האבן און זיך די זעלבע סאך פון די זעלבע זאך. ביידע האבן אין זיך נומערן,און ביידע האבן ענלאז דערפון. איז מיט וואס זענען זיי צוויי עקסטערע סעטס? ביידע האבן אלעס די זעלבע?
האט קענטאר מסביר געווען אז, גערעכט אז ביידע האבן ענדלאז נומערן, אבער די סעט פון נומערן ציווישן 0 און 1, איז א גרעסערע ענדלאז ווי די סעט פון אלע פשוטע נומערן. כדי דאס מסביר צי זיין האט ער זיך פארגעשטעלט ווי ער מאכט א ליסטע פון אלע נומערן אויף א וועג אז מען שטעלט ציזאם אלע גאנצע נומערן אויף איין זייט, מיט א נומער ציווישן 0 און 1 אויף די אנדערע זייט.
וויבאלד די נומערן ציווישן 1 און 0 זענען סייווי ענדלאז לאנג, קען מען עס שרייבן צימישט ווייל עס איז סייווי נישטא קיין ערשטע, די עיקר איז אז מען זאל האבן אויף די ליסטע אלע נומערן וואס איז נאר פארהאן (די ליסטע איז ענדלאז לאנג).
אויב קען איך מאכן אזא ליסטע אן דעם וואס קיין נומער זאל איבערבלייבן מוז זיין אז עס איז דא די זעלבע סאך נומערן אין ביידע סעטס. אבער אויב בלייבט איבער פון איין סעט א נומער מוז זיין אז יענע סעט איז גרעסער ווי די אנדערע.
קאנטאר האט אויפגעוויזן אז נאכן ענדיגן די ליסטע גייט אייביג איבערבלייבן א נומער ציווישן 1 און 0.
ער האט געזאגט אז אויב נעמט מען דיערשטער נומער פון שורה 1 און מען לייגט צו איינס צו די נומער (פלאס 1) דערנאך לייגט מען צו איינס צו די צווייטע נומער פון שורה 2, דערנאך צי די דריטע פון שורה 3, און די פערטע פון שורה 4, די פינעפטע פון 5, און אזוי ווייטער, גייט מען האבן א נייע נומער וואס עס מוז זיין אז עס שטייט נישט אויף די ליסטע, ווייל עס איז אנדערש ווי די ערשטע, און ווי די צווייטע און ווי די דריטע און ווי אלע! מוז זיין אז עס איז דא מער פון די נומערן ציווישן זעראו און איינס, וויבאלד פון דעם איז דא א נומער וואס שטייט נישט אויף די ליסטע!
אבער דא האבן די סקעפטיקער אויפגעברענגט אן ערנסטער פראבלעם מיט קאנטערס טעאריע, לויט קאנטאר אז די גאנצע מציאות פון נומערן איז נאר א סיסטעם געבויעט אויף סעטס, שטימט נישט די גאנצע נושא פון נומערן, ווייל לכאורה קען מען נישט מאכן מער סעטס פון זאכן ווי זאכן וואס איז דא און נומערן איז דאך ענדלאז, און דאס מיינט אז עס איז דא א ענדלאזע נומער פון סעטס אבער די סעטס באשטייען פון זאכן וואס ענדיגן זיך יא! איז ווי אזוי קען זיין אזא זאך?
אבער קאנטאר האט זיך נישט דערשראקן אזוי שנעל... קאנטאר איז אויפגעקומען מיט א בריליאנטע תיריץ אויף די קשיא און צו דעם האט ער
אוועקגעשטעלט אן אייזערנע ראי' און באווייז דערצו. קאנטאר האט אויפגעוויזן אז נישט נאר וואס מען קען יא מאכן מער סעטס פון זאכן וויפיל זאכן עס איז דא,נאר עס גייט אייביג זיין מער סעטס ווי זאכן, אפי' עס איז דא א ענדלאזע נומער פון זאכן!
זיין ראי' דערצו איז פשוט, לאמיר זאגן אז די וואוינסט אין א וועלט ווי עס איז דא א ענדלאזע נומער פון מענטשן, יעצט וויפיל סעטס פון מענטשן קען מען מאכן?
די גרעסטע סעט וועט לכאורה זיין די סעט וואס יעדער איז א חלק דערפון, די קלענסטע סעט וועט לכאורה זיין די סעט וואס קיינער איז נישט קיין חלק דערפון, און אונדערצווישן די גרעסטע סעט און די קלענסטע סעט וועט זיין א ענדלאזע נומער פון
סעטס, געוויסע מיט זייער אסאך מעמבער'ס און געוויסע מיט אביסל מעמבער'ס, יעצט אנשטאט זיך שטעלן ציילן וויפיל סעטס עס זענען דא און דערנאך וויפיל מענטשן עס זענען דא צו זעהן פון וואס עס איז דא מער, איז דא אן אנדערע וועג, מען קען זעהן אויב עס איז דא א מעגליכקייט צו צוזאמשטעלן יעדע מענטש צו א סעט, אויב עס איז מעגליך ווייסט מען אז ביידע ענדלאזע סעטס זענען די זעלבע גרויס אבער אויב בלייבט איבער פון איין גרופע עפעס וואס מען קען נישט צוזאמשטעלן מיט עפעס פון די אנדערע גרופע מיינט דאס אז די גרופע פון וואס עפעס איז איבערגעבליבן איז גרעסער ווי די אנדערע גרופע.
לאמיר זאגן אז מען קען יא צוזאמשטעלן יעדע מענטש צו א סעט און יעדע מענטש האט א סעט מיט וואס ער איז צאמגעפארט געווארן, ווען מען וועט באטראכטן אלע סעטס וועט מען זעהן אז עס איז דא געוויסע מענטשן וואס זענען צוזאמענגעשטעלט געווארן מיט א סעט וואס זיי זענען גראדע אויך א מעמבער אין די סעט (למשל די מענטש וואס איז געווארן צוזאמגעפארט געווארן מיט די סעט וואס הייסט"אלע מענטשן" וואס יעדער איז א חלק דערין) און מען וועט זעהן אז עס איז דא געוויסע מענטשן וואס זענען צוזאמענגעשטעלט געווארן מיט א סעט וואס זיי זענען נישט א מעמבער אין די סעט (למשל די מענטש וואס איז געווארן צוזאמגעפארט געווארן מיט די סעט וואס הייסט "קיינער" וואס קיינער איז נישט קיין חלק דערין)
יעצט לאמיר מאכן א נייע סעט, די סעט וועט אינהאלטן אלע מענטשן וואס זענען געווארן צוזאמענגעשטעלט מיט א סעט וואס זיי זענען נישטקיין חלק דערין, די נייע סעט וועט מען רופן: "סעטx".
אבער דא ווערט א פראבלעם, ווייל אזוי ווי יעדע מענטש דארף ווערן צוזאמענגעשטעלט מיט א סעט,(ווייל אויב נישט איז דא מער סעטס ווי מענטשן) דארף די נייע "סעט x" אויך ווערן צוזאמענגעשטעלט מיט א מענטש, אבער ווען מען שטעלט צוזאם א מענטש מיט די סעט שטעלט זיך די שאלה: איז די מענטש א מעמבער אין די סעט מיט וואס ער איז צאמגעפארט אדער נישט? אויב קימט מען צו די מסקנה אז די מענטש איז נישט קיין מעמבער אין די סעט, דעמאלטס באלאנגט ער אין סעט x, (ווייל יעדער וואס איז נישט קיין מעמבער אין די סעט מיט וואס ער איז צאמגעפארט באלאנגט אין סעט x) אבער אויב איז ער א מעמבער אין "סעט x" קומט אויס אז ער איז צאמגעפארט מיט א סעט וואס ער איז יא א מעמבער, באלאנגט ער נישט אין סעט x...
אלא מאי אז ער איז יא א מעמבער אין "סעט x," ווערט אבער שווער, ווייל ער איז דאך געווארן צוזאמענגעשטעלט מיט "סעט x", אויב אזוי איז ער א מעמבער פון די סעט מיט וואס ער איז געווארען צוזאמענגעשטעלט באלאנגט ער נישט אין "סעט x" איז ער נישט קיין מעמבער, באלאנגט יא אין "סעט x"...
עפעס שטימט נישט דא, אבער לאמיר זיך דערמאנען, ווי זענען אונז צוגעקומען צו די גאנצע פראבלעם? נאר ווייל מיר האבן אפגעמאכט אז מען קען צוזאמשטעלן יעדע סעט מיט א מענטש... מוז מען זאגן אז עכט קען מען נישט צוזאמשטעלן יעדע סעט מיט א מענטש און עס איז טאקע דא מער סעטס ווי מענטשן.
פאר קאנטאר איז נאכאמאל געלונגען צו פארענטפערן זיינע קעגנערס נאכאנאנדע אטאקעס און פראבעס אים אפצופרעגן, קאנטארס טעאריע איז געווען א באמבע אין מאטאמאטיק, שווערע מחלוקות האט אויסגעבראכן ציווישן די מאטאמאטיקער, געוויסע האבן געהאלטן אז קאנטאר זייעט אן א חרבן אין מאטאמאטיק און ער פארדרייט יעדעם פון די ריכטיגער מהלך פון מאטאמאטיק, אין געוויסע האבן אויפגעלאכטן מיט זיין נייע מהלך וואס האט נישט געהאט די אלע פראבלעמען וואס יאקלעטס מאטאמאטיק האט געהאט.
ציווישן די קאנטאר סימפאטיקער איז געווען א מאטאמאטיקער, געהייסן האט ער "הילבערט", מיט די צייט איז ער געווארן די אומאפיציעלע פירער פון די קאנטאר סימפאטיקער, ער האט געהאלטן אז מיטן אננעמען קאנטארס טעאריע וועט ווערן פארענטפערט אלע קשיות און סתורות וואס מאטאמאטיק האט געהאט ביז קאנטאר.
אבער קאנטארס טעאריע איז בכלל נישט געווען ריין פון קשיות, עס זענען געווען אסאך קשיות מיט וואס די צד שכנגד האט פראבירט אפצופרעגן קאנטאר. א שטייגער ווי דאס וואס די מאטאמאטיקער "ראסל" האט געפרעגט אויף די סעט טעאריע.
אין 1901 איז פאר ראסל איז שווער געווען, אויב סעטס קענען האבן סעטס דערין מיינט דאס אז זיי קענען האבן אין זיך, זיך אליין! למשל די סעט פון אלעס מוז האבן זיך אליין אין זיך, ווייל אויב נישט, האט עס נישט אלעס אין זיך, און אויב האט עס נישט אלעס אין זיך איז עס שוין נישט די סעט פון אלעס. די זעלבע זאך איז מיט "די סעט פון אלע סעטס וואס האבן זיך אליין אין זיך"
אבער וואס איז מיט "די סעט פון אלע סעטס וואס האבן נישט זיך אליין אין זיך"...
אויב די סעט האט נישט זיך אליין אין זיך, דאן מוז די סעט האבן זיך אליין אין זיך… אויב האט די סעט יא זיך אליין אין זיך, דאן קען די סעט נישט האבן זיך אליין אין זיך. קומט אויס אז די סעט קען נאר האבן זיך אליין אין זיך, אויב די סעט האט נישט זיך אליין אין זיך…
ראסל האט געטראפן א סתירה אין קאנטארס טעאריע. ער האט דאס מסביר געווען מיט א משל:
לאמיר זאגן אז עס איז דא א שטאט ווי עס איז דא א געזעץ אז יעדער אן קיין אויסנאם מוז זיך שערן.
אבער מען דארף זיך שערן ביים שערער, און די שערער מעג נאר שערן איינעם בתנאי אז יענער שערט זיך נישט אליין. אבער די שערער וואוינט דאך אויך אינעם שטאט און ער האט אויך האר, איז ווער שערט אים? אויב שערט ער זיך נישט אליין, דארף די שערער אים שערן, אבער ער איז דאך די שערער און די שערער שערט נאר איינער וואס שערט זיך נישט אליין. קומט אויס אז ער קען זיך נאר שערן אויב ער שערט זיך נישט…
די סקעפטיקער פון קאנטאר האבן אויפגעטאנצן מיטשמחה אז עס איז זיי ענדליך געלונגען צו אפפרעגן קאנטאר, זײ זענען געווען זיכער אז יעצט וועט שויןיעדער אריבערקומען צו זייער זייט און קאנטאר וועט שוין נישט האבן קיינעם צו זיין זייט. אבער הילבערט איז נישט געווען גרייט אויפצוגעבן אזוי שנעל...
הילבערט האט מסביר געווען אז א סעט מיינט דאך א גרופע פון זאכן, און פונקט ווי א גרופע פון זאכן קען נישט האבן זיך אליין אין זיך, אזוי אויך קען מען נישט זאגן אז א סעט אנטהאלט זיך אליין אין זיך, און אויב א סעט קען נישט האבן זיך אליין אין זיך, איז דאך נישט שווער די גאנצע קשיא אויף קאנטאר!
פאר הילבערט איז טאקע געלונגן צו פארענטפערן נאך א קשיא פון די סקעפטיקער, און דאס מאל איז אים אפילו געלונגן אריבערצוברענגען ראסל -איינער פון די גרעסטע מאטעמאטיקער אויף די אנדערע זייט צו זיין זייט, אבער די קשיות האבן זיך נישט דא גענדיגט...
מיט די יארן האבן געהאלטן און איין ארויפקומען שווערע קשיות אויף קאנטארס טעאריע, און הילבערט האט זיך יעדעס מאל געדארפט מוטשענען און פראבירן צו אויפקומען מיט תריצים צו פארענטפערן זייערע שווערע קשיות.
עס איז אנגעקומען צו א מצב אז הילבערט האט אפגעמאכט אז ער גייט אויפקומען מיט א נייע מהלך פון באווייז אויף קאנטארס טעאריע. די ציל פארשטייט זיך איז אז מער זאָל מען שוין נישט פרעגען קיין קשיות אויף קאנטארס טעאריע, זיין באווייז גייט זיין אזוי קלאר אז ווען איינער גייט האָבן קשיות אויף קאנטארס טעאריע גייט מען אים זאגן "קאנטארס טעאריע איז זיכער א פאקט, בסך הכל האסטו עפעס וואס די פארשטייסט נישט" אזוי אויך האט ער געוואלט אויפקומען מיט א נייע מהלך פון רעכענען וואס זאל זיין געבויעט אויף קאנטארס טעאריע, די מהלך זאל זיין געבויעט מיט מאטעמאטישע סימבאלן וואס זענען קלאר און דייטליך און זײ ברענגען ארויס קלאר וואס מען וויל זאגן מיט דעם, חוץ פון דעם זאל די סיסטעם זיין ריין פון לעכער און צווייפלהאפטיגע סטעיטמענטס וואס אויב בויעט מען אויף דעם, איז מעגליך אז שפעטער גייט די בנין שוואַך ווערן דורך שאלות און סתירות אויף די אנהייב, אזוי ווי אויף יאקלעטס מאטעמאטיק.
הילבערט האט זיך געוואנדן צי זיין שוין יעצט חבר,ראסל, אז ער זאל אים ארויסהעלפן מיטן אויפבויען דעם נייעם מאטעמאטישער בנין, ראסל האט דאס גלייך אנגענומען און ער האט גלייך אנגעהויבן צוארבעטן אויף א סעריע פון ביכער וואָס און דעם גייט זיין פארשריבן די באווייז און די יסודות פון קאנטארס און זיין תלמיד הילבערטס טעאריע איבער מאטעמאטיק
און פאקט איז ער געווען אזוי אונטאזיאסטיש איבער זיין בוך, אז ווען ער האט אריינגענומען זיין חבר "ווייטהעד" אין די מלאכה האט ער ממש זיך אריינגעצויגן מיט ווייטהעד אין איין הויז נאר צו ענדיגן שנעלער די ארבעט!
און טאקע נאך איין יאר זענען זיי ארויסגעקומען מיט די ערשטע חלק פון זייער סעריע. זיי האבן עס גערופן "פרינקיפיא מאטעמאטיקא" עס איז געווען פיל מיט שווערע רעכענונגען און דייעגראמען, און פאר א פשוט'ע מענטש האט דאס אויסגעזען ווי עפעס א קאטשקעריי פון די חרטימום פון מצרים...עס נעמט איבער זיבן הונדערט זייטן נאר צו אויפווייזן אז איינס מיט איינס איז צוויי ...
א צייט שפעטער האבן די צוויי ארויסגעגעבן די צווייטע חלק פון זייער בוך, און דערנאך די דריטע חלק. זיי האבן אפי' געוואלט ארויסגעבן א פערטע חלק, אבער זיי זענען געקימען צו די מסקנה אז עס איז נישט ווערט די ארבעט, און די סיבה איז געווען וויבאלד קיינער האט דאס נישט געקויפט…
אין פאקט זענען זיי גערעכט געווען. נישט נאר וואס קיינער האט דאס נישט געוואלט קויפן. נאר קיין איין פירמע האט נישט געוואלט דריקען אדער פאבלעצירן די ביכער. ראסל און ווייטהעד האבן אליינס געדארפט צאלן די הוצאות פון דריקן די ביכער, פון זייער אייגענע טאש. עס איז געווען אזוי שווער און קאמפלעצירט אז ראסל האט שפעטער געזאגט אזער ווייסט נאר פון זעקס מענטשן וואס האבן דורך געליינט, אפי' נאר איין בוך ביז צום סוף.(אגב, פארשער זענען ביי די מיינונג אז עס האט זיך נישט צופיל געטוישט זינט דאן…)
אבער דאס איז וואָס הילבערט האט געוואלט, עס איז געווען קלארע באווייז. אן קיין פלאץ פאר לעכער אדער סיי וואסערע אפפרעג. און די עיקר, יעדע מאטאמאטישע חשבון קען מען נאכגיין ביז צום אנהייב צו די יסוד.
די סיבה פארוואס הילבערט האט זיך אזוי געפרייט דערמיט איז געווען, וויבאלד הילבערט האט געהאלטן אז די נייע בוך פארענטפערט 3 קשיות וואס ער האט אטלס געהאט אויף מאטאמאטיק בכלל.
1) קען מען אויפווייזן יעדע אמתע זאץ? (ד.ה. עס איז נישט דא קיין זאך וואס איז אמת, און מען קען דאס נישט אויפווייזן.)
2) איז מאטאמאטיק פריי פון סתירות? (ד.ה. אויב קען מען אויפווייזן א געוויסע זאך, אבער מען קען אויך אויפווייזן אז די זאך איז נישט אמת)
3) איז דא א וועג צי נעמען א זאץ און אויסרעכענען צי עס שטימט מיט די יסודות פון מאטאמאטיק.
הילבערט האט געהאלטן אז די בוך ווייזט קלאר אויף אז די תירוץ אויף די אלע קשיות איז, יא.
אבער און 1930 איז געקימען צי "דשאן וואן נוימאן" (איינער פון הילבערטס תלמידים) א פיר און צוואנציג יעריגע דייטשע מאטאמאטיקער מיטן נאמען "קורט גודל" (Kurt Gödel) ער האט געטענט אז ער האט די תירוץ אויף די ערשטע צוויי פון הילבערטס דריי קשיות. ער האט געהאלטן אז די תירוץ איז: ניין.
אבער פאר מען גייט צו די ראיות אז ניין, פעלט זיך אויס צו מאכן עטלעכע קורצע הקדמות.
קודם פעלט זיך אויס צו מסביר זיין וואס איז דאס
"פריים נומערן".
פריים נומערן זענען נומערן וואס קענען בלויז צעטיילט ווערן דורך זיך אליין און דורך 1. דאס מיינט אז זיי האבן נאר צוויי פאקטארס (נומערן אין וואס מען קען זיי ציטיילן). למשל, 7 איז פריים ווייל עס קען נאר צעטיילט ווערן דורך 1 און 7, און עס גיט א פולשטענדיגע ענטפער אן קיין דעצימאלן אדער נישט גאנצע נומערן. אבער 6 למשל, איז נישט קיין פריים, ווייל עס קען צעטיילט ווערן דורך 1, 2, 3, און 6. דער נומער 1 זעלבסט ווערט נישט באטראכט אלס פריים נומער. דאס איז ווייל 1 קען נאר ציטיילט ווערן אויף איין וועג, דאס איז אויף איין...
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 זענען ביישפילן פון פריים נומערן.
וואס איז אזוי מוראדיג מיט די פריים נומערן? ווייל יעדע נומער וואס איז נישט קיין פריים, באשטייט בעצם פון פריים נומערן. למשל צען באשטייט פון צוויי און פינעף (ווייל צוויי מאל פינעף איז צען), דרייסיג באשטייט פון צוויי, דריי, און פינעף ( ווייל 2x3x5 קומט אויס דרייסיג) און אזוי ווייטער יעדע נומער וואס איז נישט קיין פריים באשטייט בעצם פון פריים נומערן ווייל די פריים נומערן זענען די ציגל און די אטאמען פון נומערן.
יעצט ווי אזוי רעכענט מען אויס פון וואספארא פריים נומערן א נומער איז צוזאמגעשטעלט ?
ווען מיר ווילן פארשטיין וואס א נומער איז באמת, דארפן מיר קענען אויסרעכענען זיינע פריים נומערן פון וואס עס איז געמאכט. דאס איז דער אזוי גערופענער פראצעס פון "פריים פאקטאריזאציע". די מערסט פשוטע פארשטענדליכע און עפעקטיווע וועג דורכצופירן פריים פאקטאריזאציע איז דורך די טרייעל דיוויזשאן מעטאד. דאס איז א גרונטליכער, טריט-ביי-טריט צוגאנג וואס יעדער קען פארשטיין און דורכפירן, אפילו אן קיין פארגעשריטענע מאטעמאטישע קענטעניסן.
די טרייעל דיוויזשאן מעטאד באזירט זיך אויף א פשוטע געדאנק: נעמליך יעדער נאטורליכער נומער גרעסער ווי 1 קען אויסגעדריקט ווערן אלס אפראדוקט פון פריים נומערן, דאס איז באקאנט אלסדער פונדאמענטאלער טעארעם פון אריטמעטיק, און עס איז דער יסוד פון ווי אזוי מיר פארשטייען די סטרוקטור פון נומערן. פריימס זענען ווי די אטאמען פון די נומערן, זיי קענען נישט ווייטער צעבראכן ווערן. יעדער אנדער נומער וואס איז נישט פריים, איז ווי א מאלעקיול – א צוזאמענשטעל פון די גרונט-שטיינער.
יעצט, ווי אזוי פירט מען דורך די טרייעל דיוויזשאן מעטאד? לאמיר אנהייבן מיט דעם נומער N וואס מיר ווילן פאקטאריזירן. מיר הייבן אן דורך פרובירן צו זען אויב 2, דער קלענסטער פריים נומער, איז א פאקטאר פון אונזער נומער. דאס הייסט, מיר צוטיילן N דורך 2 און קוקן אויב מיר באקומען א גאנצן נומער. אויב יא, דאן איז 2 א פריים פאקטאר פון N. אויב ניין, דאן איז 2 נישט קיין פאקטאר, און מיר גייען ווייטער צום נעקסטן פריים נומער, 3.
לאמיר נעמען א ביישפיל: מיר ווילן פאקטאריזירן דעם נומער 84. מיר באטראכטן די פריים נומערן דער רייע נאך און קוקן וועלכע פון זיי גייען ארייןאין 84 אן קיין האלבע אדער נישט גאנצע נומערן.
מיר הייבן אן מיט 2 און זען אז 84 ÷ 2 = 42. יא, 2 טיילט זיך אריין גלאטיג אין 84, קימט אויס אז 2 איז
א פריים פאקטאר פון 84. יעצט, אנשטאט צוריקצוגיין צו 84, ארבעטן מיר ווייטער מיט 42 און זעען אויב 2 טיילט זיך נאכאמאל אריין. 42 ÷ 2 = 21. יא, 2 טיילט זיך נאכאמאל גלאטיג אריין, און דעריבער איז 2 א פאקטאר פון 84 כאטש צוויי מאל. יעצט מיר ארבעטן מיט 21 און קוקן אויב 2 טיילט זיך נאכאמאל אריין. 21 ÷ 2 = 10.5, וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. דאס מיינט אז 2 טיילט זיך שוין נישט אריין, און מיר דארפן גיין צום נעקסטן פריים נומער, 3.
מיר פרובירן 3: 21 ÷ 3 = 7. יא, 3 טיילט זיך גלאטיג אריין אין 21, איז 3 אויך א פריים פאקטאר פון 84. יעצט ארבעטן מיר מיט 7 און קוקן אויב 3 טיילט זיך נאכאמאל אריין. 7 ÷ 3 = 2.33..., וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. קומט אויס אז 3 גייט נישט ארייןאין 7 , און מיר גייען ווייטער צום נעקסטן פריים, 5.
מיר פרובירן 5: 7 ÷ 5 = 1.4, וואס איז נישט קייןגאנצער נומער. 5 איז נישט קיין פאקטאר פון 7.
מיר פרובירן 7: 7 ÷ 7 = 1. יא, 7 טיילט זיך פאקטיש אריין אין זיך אליין (ווי יעדער נומער טוט), און מיר באקומען 1 אלס רעזולטאט. ווען מיר דערגרייכן 1, ווייסן מיר אז מיר האבן געפונען אלע פריים פאקטארס און די פאקטאריזאציע איז פארענדיגט.
דעריבער, די פריים פאקטאריזאציע פון 84 איז 2² × 3 × 7. דאס מיינט אז 84 = 2 × 2 × 3 × 7. דו קענסט איבערטשעקן דאס דורך מולטיפליצירן די פאקטארס: 2 × 2 = 4, 4 × 3 = 12, 12 × 7 = 84.
אזוי קען מען געוואר ווערן די פריים נומערן פאר יעדע נומער!
(אבער די טרייעל דיוויזשאן מעטאד קען זיין זייער לאנג און פארצויגן פאר גרויסע נומערן. וועגן דעם איז דא א וועג צו פארבעסערן די עפישענסי פון דער מעטאד. די טריק איז צו פארשטיין אז אויב א נומער N האט א פאקטאר גרעסער ווי זיין קוואדראט-רוט
(√N), דאן מוז ער אויך האבן א פאקטאר וואס איז קלענער ווי זיין קוואדראט-רוט. דאס מיינט אז מיר דארפן נאר טעסטן פריים נומערן ביז די קוואדראט-רוט פון N. אויב מיר געפינען קיין פאקטאר ביז דארט, דאן איז N אליין א פריים נומער.
צום ביישפיל, אויב מיר ווילן פאקטאריזירן 101, דארפן מיר נאר טעסטן פריים נומערן ביז 10 (ווייל 10² = 100, וואס איז נאענט צו 101). מיר וועלן טעסטן 2, 3, 5, 7, און פעסטשטעלן אז קיינער פון זיי טיילט זיך נישט אריין אין 101 אן קיין ציטיילטע נומערן. דערפאר איז 101 אליין א פריים נומער.
לאמיר נעמען נאך א ביישפיל: מיר ווילן פאקטאריזירן 220. די קוואדראט-רוט פון 220 איז בערך 14.83, ממילה דארף מען נאר טעסטן פריים נומערן ביז 14. לאמיר זען:
2: 220 ÷ 2 = 110. יא, 2 איז א פאקטאר. 2: 110 ÷
2 = 55. יא, 2 איז נאכאמאל א פאקטאר. 2: 55 ÷ 2
= 27.5, וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. 2 איז שוין נישט א פאקטאר. 3: 55 ÷ 3 = 18.33...,וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. 3 איז נישט קיין פאקטאר. 5: 55 ÷ 5 = 11. יא, 5 איז א פאקטאר.
5: 11 ÷ 5 = 2.2, וואס איז נישט קיין גאנצער נומער.
5 איז שוין נישט א פאקטאר מער. 7: 11 ÷ 7 =
1.57..., וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. 7 איז נישט קיין פאקטאר. 11: 11 ÷ 11 = 1. יא, 11 איז א פאקטאר.
דעריבער, 220 = 2² × 5 × 11.
איינמאל נאך, מיר קענען איבערטשעקן די ענטפער:
2 × 2 = 4, 4 × 5 = 20, 20 × 11 = 220. ).
נאך א הקדמה וואס פעלט אויס צו מאכן פאר מען גייט ווייטער איז א וועג פון רעכענען וואס ווערט גערופן "רעכענען מיט כח נומערן". א כח נומער איז א נומער וואס ווייזט אן וויפיל מאל צי פארדאפלען די נומער און זיך אליין דאס הייסט אויב האב איך די נומער צען און די כח נומער (וואס איז א קליינע נומער אויבן אויף די רעכטע זייט) איז דריי, מיינט דאס נעם די נומער צען מאל צען מאל צען (10x10x10) קומט אויס אז די סך הכל פון צען מיט די כח נומער דריי איז טויזענט. אדער צען מיט די כח נומער פינעף איז א סך הכל הונדערט טויזענט (ווייל 10 מאל 10 איז הונדערט, מאל צען איז טויזענט, מאל צען איז צען טויזענט, מאל צען איז הונדערט טויזענט) מען ניצט דאס בעיקער ביי גאר גרויסע וואס מען האט נישט קיין פלאץ צי שרייבן, און מיט די מהלך קען מען שרייבן די נומער ביליאן (וואס דאס איז א נומער מיט צען נומערן) מיט בלויז דריי נומערן.10⁹(צען צי די פאוער פון ניין).
נאך איין קלייניקייט איז אז אלעס אין די מאטעמאטישע שפראך ווערט אויסגעדריקט מיט סיבאלן אבער נישט נאר ווערטער וואס ער ניצט צו רעכענען נאר אפילו נומערן וואס שטעלן די פשוטע ווערטער ווי "נישט, יא, בערך, אסאך, ווייניג," א.א.וו.
ווי למשל: די זאץ איינס איז נישט צוויי, שרייבט מען און די מאטעמאטישער שפראך אזוי: 2=~1 דאס הייסט: איינס 1 גייט נישט אויסקומען =צוויי 2 און אזוי ווייטער יעדע זאץ האט א וועג עס אפצישרייבןמיט מאטעמאטישע סימבאלן.
שוין צוריק צי גאדל. די געדאנק פון גאדלס מהלך פון רעכענען הייבט זיך אן מיט א כלל: יעדע מאטעמאטישע סימבאל ווי למשל: פלאס, מיינעס, טיימס, דיווייטעד, מער פון, ווייניגער פון, נישט בערך, און אזוי ווייטער, ווערט פרעזענטירט מיט א נומער (וואס אגב רופט מען עס די גאדל נומער) די = (קומט אויס) סימבאל, באקומט די גאדל נומער 5 די ~(נישט) סימבאל, באקומט די גאדל נומער 1, א.א.וו. יעדע סימבאל באקומט א נומער, און די נומערן רעכענט מען אויך מיט גאדל נומערן אבער אנשטאט געבן פאר יעדע נומער א עקסטערע גאדל נומער און מען וועט קיינמאל נישט ענדיגן געבן גאדל נומערן, האט קורט באשטימט אז די נומער 0 באקומט די גאדל נומער 6 דערנאך איז דא א סימבאל וואס רופט זיך סאקסעסער (s), די ארבעט פון די סאקסעסער איז אז ווען מען שטעלט עס נעבן א נומער דינט עס אלץ צילייגער (sucseser) צו די פריערדיגע נומער, למשל די נומער 3 איז א ציזאמשטעל פון 0 און דריי צילייגערס, אדער די נומער 8 איז א ציזאמשטעל פון א 0 און אכט צילייגערס אזוי יעדע נומער וואס מען וויל שרייבן קען מען עס שרייבן מיט א 0 און אזויפיל צילייגערס ווי די נומער וואס מען וויל שרייבן קומט דאס אויס די נומער, און ווען מען לייגט צי נאך א צילייגער ווערט עס איין נומער מער.
יעצט, אין גאדלס נומערן באקומט די צילייגער סימבאל די נומער 7, און די נומער 0 האט דאך די נומער 6, קומט אויס אז די גאדל נומער פון די נומער'2' איז 2,7,7,
אזוי אויך קען מען שרייבן מאטעמאטישע חשבונות מיט די נומערן למשל די חשבון "גארנישט קומט אויס גארנישט" (0=0) קען מען שרייבן 6,5,6 אבער עס איז דא א וועג צי מאכן א נייע נומער פון די חשבון, ווי אזוי? מען נעמט די פריים נומערן און מען לייגט עס אונטער די גאדל נומערן אויף א וועג אז די גאדל נומערן זאלן זיין די כח נומערן פון די פריים נומערן, צום ביישפיל די חשבון פון גארנישט קומט אויס
גארנישט (0=0) וואס האט די גאדל נומערן 6,5,6 קען מען צילייגן די ערשטע פריים נומערן (5,3,2) פון אונטן און עס וועט אויסקומען אז 6 איז די כח נומער פון 2 וואס דאס מיינט אז די סך הכל פון די ערשטע נומער איז 64 די צווייטע פריים נומער איז 3 און די כח נומער איז 5 איז די סך הכל 243. די דריטע פריים נומער איז 5 און די כח נומער איז 6 קומט אויס אז די סך הכל פון די דריטע נומער איז 15,625 . דערנאך רעכענט מען ציזאם אלע סך הכל'ס
ניצענדיג טיימס (×) און די סך הכל (וואס גייט און די פאל זיין 243,000,000). און די סך הכל איז די גאדל נומער פאר די חשבון פון 020 און גאדל נומערן.
די סיבה פארוואס מען דארף גיין אזא
קאמפלעצירטע מהלך איז ווייל ווען איינער גייט זאגן אז די נומער פון 020 איז 243,000,000 זאל קענען זיין א וועג אויסציגעפינען וועלכע נומערן האבן ציזאמגעשטעלט די חשבון, ווי אזוי טוט מען דאס ?
דורך א פריים פאקטערעזאציע, ווי אויסגעשמיסט אין די הקדמה אז יעדע נומער קען מען ציטיילן אויף א וועג אז מען זאל געוואר ווערן וואס זענען די פריים נומערן וואס שטעלן ציזאם די נומער, און די סך הכל פון די נומערן וואס פרעזענטירן די חשבונות און גאדלס נומערן גייען אייביג אויסקומען די פריים נומערן פון וואס זיי זענען ארגענעיל ציזאמגעשטעלט געווארן, לאמיר ווייטער גיין מיט די משל פון 0=0, די נומערן וואס גייען ארויסקומען נאך א פריים פעקטערעזאציע גייט מיזן זיין זעקס צווייער'ס, פינעף דרייער'ס, און זעקס פינעווער'ס ווייל דאס זענען דאך די נומערן וואס שטעלן דאס ציזאם, יעצט קען מעןשוין וויסן פון וועלכע נומער די גאדל נומער באשטייט.
אין די אלע גאדל נומערן גייט זיין אמת'ע סטעיטמענטס (2=1+1) אבער עס גייט אויך זיין פאלטשע סטעיטמענטס (למשל 6=1+1) איז ווי אזוי ווייס איך אויף א חשבון אויב עס איז אמת אדער נישט ? וועגן דעם איז דא יסודות וואס יעדער איז מסכים, (אזוי ווי יאקלעט'ס און ראסלס מהלכים) ווי למשל "די סאקסעסער (צילייגער) פון סיי וועלכע נומער איז נישט 0" און די סימבאל פון די יסוד איז 0=xs~ און די גאדל נומער פאר די יסוד קומט אויס א ריזיגע נומער, יעצט; ווען איך וויל אויפווייזן אז די סאקסעסער פון איינס איז נישט 0 נעם איך די גאדל נומערן פון די יסוד וואס מען האט פריער אוועק געשטעלט און אויב נעם איך די גאדל נומער פון די חשבון וואס איך וויל אויפווייזן (0=s1 ~) איך מאך אז די צוויי גרויסע לאנגע נומערן זאלן ווערן די כח נומערן (3,2), און די סך הכל גייט אויסקומען די נומער וואס איז די גאדל נומער פון די ראי' אז די סאקסעסער פון 1 איז נישט 0, די נומער גייט זיין 73 מיליאן נומערן לאנג...
סך הכל פון די גאנצע פארדרייטע וועג פון מאטעמאטיק איז אז יעדע אמת'ע פאקט קען מען נאכגיין ביז צום אנפאנג און זען צי עס איז טאקע אמת און אויב יא איז דאס מיין ראי' דערצי.
יעצט, גאדל גייט דורך די גאנצע קאפ וויי מיטן ציל אנציקומען צי איין חשבון, די חשבון איז ווי פאלגענד:
"עס איז נישט דא קיין ראי' צי דעם חשבון מיטן גאדל נומער א" (באמת איז א' א לאנגע נומער, נאר וויבאלד אפצישרייבן די גאנצע גאדל נומער גייט אויפנעמען אפאר בלעטער, וועט מען עס רופן: א') די פראבלעם איז נאר אז די גאדל נומער פון אט די חשבון איז א'...
פון די חשבון קומט אויס: אז אויב די חשבון איז נישט אמת און עס איז יא דא א ראי' צי די חשבון מיטן גאדל נומער א' איז די גאנצע זאך וואס די האסט אויפגעוויזן מיט די ראי' איז נאר אז עס איז נישט דא קיין ראי',אלא מאי' איז טאקע נישט מעגליך צו ברענגען מאטאמאטישע פראף פאר סטעיטמענט "א"...
גאדל האט אויפגעוויזן אז די תירץ אויף הילבערט'סערשטע קשיא איז: ניין! עס גייט אייביג זיין אמת'עפאקטן און מאטעמאטיק, וואס גייט קיינמאל נישטהאבן קיין ראי'.
אפאר יאר שפעטער האט גאדל אויפגעוויזן אז די
תירץ אויף די צווייטע קשיא איז אויך ניין, די אויפווייז איז בערך די זעלבע פון די ערשטע נאר מיט אפאר קליינע שניים.
אבער ביז דערווייל האט נאך הילבערט געהאט זיין דריטע קשיא וואס ער האט געהאלטן אז די תירץ איז יא, "איז דא א וועג צי קענען אויסרעכענען מיט
מאטעמאטיק אויב א חשבון איז אמת ?" ד.ה. צי עס שטימט מיט די פאר יסודות וואס אויף דעם איז מאטעמאטיק געבויט.
די שאלה איז געבליבן אומפארענפערט פאר יארן אבער ווי אלעס איז צום סוף ארויפגעשווימען א תירץ.
און יאר 1936 האט א מאטעמאטיקער און ענדשעניר מיטן נאמען "עלן טארינג" ארויס געגעבן א טוץ פון פאפירן ווי ער האט געטענעט אז ער האט די תירץ צי הילבערטס דריטע קשיא, אבער כדי אויפציווייזן זיין תירץ האט ער געדארפט ערפינדן די קאמפיוטער. (נישט עכט געבויט, נאר אין זיינע געדאנקען)
און יענע צייטן האט א קאמפיוטער געמיינט א מענטש וואס זיין ארבעט איז צי אויסרעכענען שווערע חשבונות, אבער טארינג האט זיך
אויסגעמשלט אין זיינע מחשבות א קאמפיוטער וואס ארבעט אינגאנצן מעכאניש, די וועג ווי אזוי עס ארבעט איז אז עס איז דא אן אוועקגעשטעלטע סיסטעם וואס האט כללים ווי אזוי עס ארבעט דערנאך איז דא א לאנגע צעטיל מיט נומערן וואס יעדע נומער איז אדער א 1 אדער א 0 און מען לייגט אריין די צעטיל אין די מאשין און די מאשין הייבט אן צי ליינען די צעטיל, די מאשין ליינט איין נומער אויף אמאל, נאכן ליינען די נומער קען די מאשין טון איינע פון דריי זאכן, 1) טוישן די נומער פון א איינס צי א זירא אדער פון א זירא צי א איינס. 2) ליינען די נעקסטע נומער פון די רעכטע זייט. 3) ליינען די נעקסטע נומער פון די לינקע זייט. יעצט און וואס ווענד זיך וואס די מאשין גייט טון ? עס ווענד זיך און צוויי זאכן. 1) וועלכע כלל די מאשין פאלגט יעצט. 2) די נומער וואס די מאשין האט יעצט געליינט איז א איינס צי א זירא. די מאשין גייט מיט א סדר, למשל: לאמיר זאגן אז די מאשין איז געבויט געווארן אויף א דרייער סיסטעם דאס הייסט אז עס איז דא דריי כללים, וואס יעדע כלל באשטייט פון דריי אונסטרוקציעס 1) ביי וועלעכע נומער דארף מען קוקן אויף דיע כלל 2) די מאשין דארף ריקען די צעטל רעכטס אדער לינקס 3) וועלעכע פון די דריי כללים דארף מען פאלגן נעקסט.
לאמיר נעמען א משל אז די ערשטע כלל איז אז אויב די ערשטע נומער (נישט די ערשטע נומער אויפן צעטיל, נאר ערגעץ ווי אינמיטן די צעטיל דארט ווי די מאשין האט אנגעהויבן די ערשטע צי ארבעטן) איז געווען א איינס גייט זיך עס ריקן איין נומער צי לינקס אויב איז עס געווען א זירא גייט עס איבער שרייבן די נומער צי א איינס, דערנאך גייט מען צי די צווייטע רונדע, די כללים פון די צווייטע רונדע איז אז אויב עס איז א איינס גייט זיך עס ריקן איין נומער צי רעכטס, אבער אויב איז עס א זירא גייט זיך די מאשין אפשטעלן, דאס הייסט די סיסטעם איז געקומען צי א ענדע. דערנאך גייט עס צי די דריטע סעט פון כללים, ביי די דריטע רונדע גייט די מאשין טון איינס פון די פאלגענדע זאכן אויב איז עס א זירא גייט עס זיך ריקן לינקס אויב איז עס א איינס גייט עס איבער שרייבן די נומער צי א זירא, אין דערנאך גייט עס צוריק צי די כללים פון די ערשטע רונדע, אזוי קען די מאשין ארבעטן פאר שעות וואכן און חדשים ביז די סיסטעם קומט צי א ענדע, איינמאל די סיסטעם קומט צי א ענדע קען מען נעמען די קאוד פון איינסערס און זיראס וואס איז שוין דורך די פראצעדור פון די פאריגע מאשין און עס אריינלייגן און א מאשין וואס די כללים וויאזוי עס זאל ארבעטן איז נאך נישט אריין געפראגעמירט געווארן און אוועק געשטעלט, אבער איך לייג עס נישט ביי די פלאץ ווי די מאשין ליינט נאר מען לייגט עס אויף א עקסטערע פלאץ וואס דאס וועט מען רופן די "פראגרעמירינג אריינגאנג" און ווי נאר איך לייג אריין די צעטיל פון די פראגרעם קאוד (ד.ה. די תוצאה פון די ארבעט
פונעם פריערדיגע מאשין) וועט די אומפראגרעמירטע מאשין גלייך אנהייבן צי ארבעטן מיט די זעלבע כללים ווי די ערשטע מאשין.
פארשטייט זיך אז די מאשין מיט די דריי כללים איז זייער א פשוטע מאשין, און בעצם קען מען מאכן א מאשין וואס איז אסאך מער קאמפלעצירט און מיט אסאך מער כללים וואס וועט קענען טון אסאך מער קאמפלעצירטע אויפגאבעס ווי די דריי כללים'דיגע מאשין, ווי למשל פלאס, מיינעס, טיימס, אבער סיי וועלכע מאטעמאטישע חשבונות, אבער כדי צו פארשטיין די עיקר נקודה איז געניג צי רעדן פון א מאשין וואס האט נאר 3 כללים.
יעצט, טארינג האט געטראכט פון אזא מאשין: די מאשין זאל קענען נעמען א קאוד פון א אנדערע מאשין (נישט ביי די פרויגרעמינג אריינגאנג נאר ביי די פלאץ ווי עס ליינט) און דורך דעם וואס די מאשין ליינט עס זאל ער קענען פארזאגן צי אויב לייגט מען אריין די קאוד און א פראגרעמירטע מאשין גייט עס אמאל אנקומען צי א אפשטעל אדער עס גייט ווייטער אנגיין זיך צי ריקן רעכטס און לינקס פאר אייביג, (עס איז נישט וויכטיג ווי אזוי די מאשין ארבעט למעשה, נאר לאמיר זאגן אז עס איז דא אזא מאשין) יעצט טארינג האט געטראכט וואס וועט זיין אויב וועט מען ציטשעפענען צי די נייע מאשין נאך א מאשין וואס די גאנצע תפקיד פון די מאשין איז אז אויב מען לייגט אריין אין דעם "עס גייט סטאפן" געבט די מאשין ארויס "עס גייט גיין פאר אייביג" און אויב לייגט מען אריין דערין "עס גייט גיין פאר אייביג", סטאפט די מאשין גלייך יעצט נעם איך מאשין א' און מאשין ב' איך לייג עס אריין אין איין גרויסע מאשין די מאשין גייט מען רופן מאשין ג', יעצט גייט מען נעמען די קאוד פון מאשין ג' (וואס אויב מען לייגט עס אריין אין א אום געפראגרעמטע מאשין גייט די מאשין ארויסגעבן די זעלבע רעזאלטאטן ווי מאשין ג') און מען לייגט עס אריין אין סיי אין די פלאץ פון מאשין א' וואס ליינט, און סיי אין די פראגרעמינג אריינגאנג, קומט אויס אז מאשין א' דארף ארויס געבן די זעלבע רעזאלטאטן וואס מאשין ג' דארף ארויס געבן, אבער דא ווערט א שטיקל פראבלעם לאמיר באטראכטן און זען וואס גייט דא געשען.
מאשין א' הייבט אן ליינען די צעטיל פון נומערן און הייבט אן צי טראכטן "וואס גייט מאשין ג' ארויס געבן און פאל וואס מען לייגט אריין די נומערן וואס איך ליין יעצט?" לאמיר זאגן אז מאשין א' קומט צי א מסקנא
אז מאשין ג' גייט ארויס געבן אז און פאל פון די נומערן גייט א מאשין קיינמאל נישט גיין אהין אין צוריק, גייט מאשין א' ארויס געבן זיינע רעזאלטאטן אז די נומערן גייען אייביג גיין אהין און צוריק, אבער ציגעטשעפעט צי מאשין א' איז דאך דא מאשין ב' וואס ער נעמט אריין די רעזאלטאטן פון מאשין א' און ער טוישט עס צי פונקט פארקערטע רעזאלטאטן,
גייט אויס קומען אז מאשין ג' גייט ארויס געבן אז ווען מען לייגט אריין די סעט פון איינסערס און זיראס אין א מאשין גייט די מאשין צום סוף זיך אפשטעלן, קומט אויס אז מאשין א' האט ארויס געגעבן די פארקערטע רעזאלטאטן פון מאשין ג' אפילו עס איז פראגרעמירט מיטן פראגראם פון מאשין ג' !
די איינציגסטע וועג מסביר צי זיין אזא מציאות איז אז אזא מאשין ווי מאשין א' קען במציאות נישט עקסזעסטירן, דאס הייסט עס איז נישט דא עפעס וואס קען אויסרעכענען וואס א צווייטע זאך גייט טון, אויב די זאך וואס רעכענט עס אויס איז בעצם א חלק פון די זאך וואס ער פראבירט אויסצירעכענען.
היוצא לנו מזה איז אז עס איז נישט דא קיין וועג אויס צירעכענען מיט מאטעמאטיק אויב א מאטעמאטישע חשבון שטימט מיט די פאר יסודות פון מאטעמאטיק.אבער אזויפיל זענען מיר יא געוואר געווארן אז מאטאמאטיק איז נאך ווייט פון פארענדיגט…
פשוט, נישט אזוי?
יעצט קען זיין די ביסט גערעכט, אבער פאר מ'גייט צי איינס מיט איינס, דארף מען זען וואס מיינט איינס בכלל...
איינס? איינס מיינט איין זאך! נישט אזוי?
אבער לאמיר זאגן אז איך בין יעצט די ערשטע מאל דא אויף די פלאנעט, איך קום צי צו דיך אין איך בעט דיך אז די זאלסט מיך מסביר זיין וואס מיינט איינס, וואס וואלסטו מיך געענטפערט?
אויב דיין תירץ וואלט געווען אז איינס מיינט איין זאך און נישט צוויי, דעמאלטס וואס האסטו מיך גענפערט איך ווייס נאך נישט וואס מיינט איין...
בקוציר, נומערן זענען נאך גארנישט ביז ווילאנג די שטעלסט עס נישט צי א דבר גשמי, ביז ווילאנג די רעדסט פון דעם אליין פארשטייט מען נישט קיין ווארט.
דאס איז טאקע די סיבה פארוואס מאטעמאטיק האט ביז אפאר הונדערט יאר צוריק נישט געהאט קיין שיכות מיט די וועג ווי אזוי מען ניצט מאטעמאטיק היינט.
אלע מאטעמאטיק אמאל, אריינגערעכנט: פשוטע מאטעמאטיק, געמאטריע, עלדזשעברע, וכו' איז באשטאנען בעיקר פין פארומעס, דאס הייסט ווען מען האט געוואלט ציזאם רעכענען 30 מאל 40 האט מען זיך פארגעשטעלט כאילו די האסט א באקס וואס אויף איין זייט איז עס 30 פיס אין אויף די אנדערע זייט איז עס 40 פיס וויפיל סקווער פיס גייט די באקס האבן אין זיך? עס איז נישט געווען אזא מושיג ווי זאגן סתם 30 מאל 40, ווייל וואס מיינט 30 ?
בלערך 2500 יאר צוריק איז געווען א מאטעמאטיקער, געהייסן האט ער "אוקליד" (euclid), ער האט אפגעמאכט ביי זיך אז ער נעמט אויף זיך א מיסיע צו מאכן א סך הכל פון אלע מאטעמאטיק וואס איז געווען באוויסט ביז יענע צייט און ער וועט עס צוזאמנעמען אין איין גרויסע בוך, ער האט אריינגעלייגט אסאך ארבעט דערין אין נאך אפאר יאר וואס די גאנצע וועלט איז געשטאנען געשפאנט צי זען וואס עס גייט ווערן פון די חלומות פון אוקליד, איז ער ארויסגעקימען מיט זיין נייע סעריע פון ביכער וואס ער האט געריפן "די עלעמענטן (The Elements).
די ביכער זענען ציכאפט געווארן מיט גרויס אימפעט אין די סקונדע וואס עס איז ארויסגעקימען, און מען האט דאס געדארפט האלטן אין איין איבערשרייבן, דורך אויס די 2000 יאר וואס איז פאריבער פון דאן זענען שוין פארקויפט געווארן שווערע מיליאנען פון די ביכער, ווען די דרוק-מאשין איז ערפינדן געווארן און יאר 1440, איז די פארלאנג דראמאטיש ארויפגעשרויפט געווארן, עד כדי כך אז עס איז געווארן די צווייט מערסטע געדריקטע ביך זייט די ערפינדונג פונעם דרוק-מאשין (נאך די בייבל)!
אין די סעריע איז געווען 13 שווערע גרויסע ביכער אין דעם איז געווען שווערע בלעטער אנגעפילט מיט אלע קאמפליצירטע חשבונות איבער אלע סארטן מאטעמאטיק וואס איז געווען באוויסט אין יענע צייט ציזאם גענומען אין איין לאנגע באשרייבונג.
יאקלעט בוך "די עלעמענטן"
מאטעמאטיק אין יענע צייט האט געהאט א פראבלעם, ווען מען האט געפרעגט א מאטעמאטיקער פון ווי ער ווייסט עפעס וואס ער האט אוועק געשטעלט, האט ער געענטפערט פון דא אין דא, האט מען אים געפרעגט "און פון ווי ווייסטו דאס"? האט ער געזאגט "פון דאס אין דאס" האט מען אים געפרעגט "אבער פון ווי ווייסטו דאס?" האט ער געענטפערט "פון דאס אין דאס" אא"וו, צום סוף איז מען אנגעקומען צי די פלאץ ווי מען האט אנגעהויבן, דאס האט געמיינט אז די האסט נישט קיין אויפווייז פאר גארנישט, אוקליד האט געוואלט זיין סיסטעם פוו מאטעמאטיק זאל זיין געבויט אויף א מהלך אז אלעס זאל זיין קלאר אויפגעוויזן, דערפאר האט אוקליד אפגעמאכט צי נוצן א מהלך אנצוהייבן זיינע חשבונות, וואס איז שוין געווארן געניצט דורך די גריכן פאר זייערע פיליזאפישע חשבונות, עס הייבט זיך אן מיט 5 יסודות וואס יעדער איז מודה דערצו אין עס דארף נישט קיין ראיות, איינמאל די יסודות זענען שוין אוועק געשטעלט און אלעס שטימט שוין קען מען ציביסלעך שטייטלעך שטייטלעך אנהייבן צו בויען אויף דעם.
למשל אויב מיינע משלים זענען
1)האלץ איז ברוין.
2)א בוים איז געמאכט פון האלץ.
קומט אויס אז איך קען יעצט אליין מאכן דעם חשבון:
אויב האלץ איז ברוין און א בוים איז האלץ, קומט יעצט אויס אז עס איז פשוט אז א בוים איז ברוין.
אדער אויב מיינע 2 כללים זענען
1) 5 אזייגער ווערט טונקל .
2) ווען עס ווערט טונקל קען מען דאווענען מעריב.
פארשטייט יעדער אז פין די 2 כללים איז פשוט אז 5 אזייגער קען מען דאווענען מעריב, אזוי איז דא אסאך אזאנע משלים.
אבער ווען איינער זאגט אז 5 אזייגער קען מען דאווענען מעריב, אויב יענער ווייסט נישט די 2 פריערדיגע כללים, האט יענער נישט וויאזוי עס אויפציווייזן, איז עס א סטעיטמענט אן קיין באווייז.
יעצט, אוקליד האט אנגעהויבן זיין באווייז אויף אלעס מיט 5 כללים, די ערשטע 4 זענען זייער פשוט, ווי פאלגענד.
1)צווישן 2 פוינטס קען מען מאכן א גראדע שטריך.
2)יעדע ליין קען מען ארויסציען צו ביידע זייטן ווי לאנג מען וויל אן קיין אפהאלט.
3)אויב מען האט א פוינט און אויך א נומער פון א ווייטקייט פין די פוינט (א רעדיוס), קען מען מאכן א קרייז וואס די מיטן פון די קרייז איז אזוי ווייט פון עקן, ווי די אווקגעשטעלטע נומער פון די ווייטקייט.
4)די עק פון א פינקטליכע קעסטל גייט אייביג זיין ניינציג דעגרי (יעדע רינדעכיגע קרייז (סורקל) ווערט ציטיילט אין 360 חלקים, און ווען מען וויל זאגן "א פערטל קרייז" זאגט מען: ניינציג דעגרי).
יאקלעטס ערשטע פיר כללים
די זאכן זענען פשוטע זאכן וואס יעדער איז מודה דערצי, אין קיינער קריגט זיך נישט דערויף, עס איז פאסיג צי זיין יסודות, אבער די פינפטע יסוד דאס הייבט שוין ברעמען...
5)אויב מען האט 2 שטריכן אין די ברייט אין איין שטריך אין די הייעך, אין די ענגל פון די שטריך פון אויבן און אינטען ציזאמען אנטקעגן די שטריך אין די הייעך קומען אויס ווייניגער ווי 180 דעמאלטס איז בהכרך אז ערגעץ שפעטער גייען די 2 שטריכן אין די ברייט, זיך ציזאמטרעפן...
יאקלעטס פינפטע יסוד
דאס איז נישט קיין יסוד?! דאס איז נישט פשוט?!
לכאורה איז דאס א ציזאמשטעל פין אסאך יסודות אין כללים! דאן וואס זיצט ער צווישן די יסודות?
פאר צוויי טויזענט יאר האבן זיך די גרעסטע קעפ אין די שטערקסטע מאטעמאטיקער געבראכן קאפ אין פראבירט צי פארשטיין אין מסביר זיין די פונפטע יסוד, אבער אן ערפאלג, עס האט אויס געזען ווי עס איז אריינגעפאלן בטעות עס ברויך באמת זיין ביי די זאכן וואס ווערן אויפגעוויזן דורך די יסודות און נישט ביי צווישן די יסודות אליין.
אבער אויב עס איז נישט קיין יסוד, דארף מען דאס קענען אויפווייזן פון די ערשטע פיר יסודות, ווייל יעדע אמת'ע זאך שטאמט דאך באמת פון די יסודות אין אויב עס איז נאר דא 4 יסודות דארף מען אלעס קענען אויפווייזן פון די פיר יסודות, אין דאס איז טאקע וואס אסאך פין יענע צייט האבן פרובירט צי טון צווישן זיי "פעטאלעמי" אין "פראקלעס" אין נאך אסאך, יעדער האט פראבירט אויפציווייזן די פינפטע יסוד פון די ערשטע פיר, אין געוויסע האבן געגלייבט אז זיי האבן מצליח געווען, זיי האבן גע'טענט אז זיי האבן אויפגעוויזן די פינפטע יסוד פון די ערשטע פיר יסודות, קומט אויס אז די פינפטע איז נישט קיין יסוד נאר עס ווערט אויפגעוויזן דורך די יסודות.
אבער שפעטערדיגע אזוי ווי "אל העיטעם" און "אומאר קאיעם" האבן אויפגעוויזן אז די אלע מהלכים האבן גארנישט אויפגעוויזן פון די ערשטע פיר יסודות, די איינציגסטעזאך וואס זיי האבן געטאן איז אז זיי האבן אביסל ארומגעטוישט די וועג ווי אזוי די פינפטע יסוד איז געשריבן, א באקאנטע מהלך איז געווען אז די פינפטע יסוד גייט אזוי:
ווען איך האב א גראדע שטריך אין איך האב אויך א פוינט וואס איז נישט אויף די שטריך, איז נאר דא איין מהלך פון צילייגן א שטריך צי די פוינט, אין עס זאל זיין די זעלבע וועג אויסגעלייגט ווי די ערשטע שטריך (דאס הייסט פאראלעל צי די ערשטע שטריך), אבער אז מען טראכט אביסל טיפער זעט מען אז באמת איז עס די זעלבע זאך מיט די זעלבע קשיות פון פריער, איז לכאורה גארנישט פארענפערט געווארן.
האט אל העיטעם פראבירט אויפציווייזן די פאלשקייט דורך א צווייטע מהלך, דורך טרעפן א סתירה.
דאס הייסט מען פראבירט אנצינעמען אז די פינפטע יסוד איז פאלש אין מען זעט צי די יסודות שטימען נאך אלץ, דאס הייסט מען קוקט אויף די טעאריעס וואס מען האט געהאט אויפגעבויט ניצענדיג די פינפטע יסוד אין מען זעט צי עס שטימט נאך אלץ, אויב יא גייט מען ווייטער צי די טעאריע וואס מען האט געבויט אויף די פריערדיגע טעאריע אויב עס שטימט גייט מען ווייטער אין ווייטער ביז מען קומט אן צום סוף, אין אויב עס שטימט איז אויפגעוויזן געווארן אז די ארגינעלע יסוד איז געווען פאלטש, אבער אויב עס שטימט נישט אדער מען טרעפט א סתירה אין די נייע טעאריע מיז זיין אז די אלטע איז אמת, דאס ווערט געריפן PROOF BY CONTRADICTION.
אויב די אלטע יסוד איז פאלטש דעמאלטס קומט אויס אז אויף א פוינט נעבן א שטריך איז בכלל נישט דא קיין וועג צי מאכן א שטריך פון די פוינט, וואס עס גייט זיין פאראלעל צי די שטריך, אבער דאס קען נישט זיין אמת ווייל די צווייטע יסוד זאגט דאך אז יעדע שטריך קען ווערן אויסגעצויגן אן קיין סוף, אין אויב נעם איך אן אז א פוינט נעבן א שטריך קען בכלל נישט האבן קיין שטריך פאראלעל צי די אנדערע, מוז זיין אז די צווייטע יסוד איז פאלטש, אלא מאי קען נישט שטימען די נייע יסוד.
אבער עס איז דא נאך א וועג צי זאגן אז די פינפטע יסוד איז פאלטש, מען קען זאגן אז א פוינט נעבן א ליין קען האבן מער ווי איין שטריך וואס איז פאראלעל צי די ערשטע שטריך.
אזוי האט מען טאקע געטאן אין מען האט אנגעהויבן צי זיכן סתירות צווישן די ארומגעטוישטע פינפטע יסוד אין די אנדערע יסודות און טעאריעס, אבער וויפיל מען האט געזיכט האט מען נישט געטראפן, אל העיטעם איז געווען זיכער אז ער האט געטראפן א ראי' אז די פינפטע יסוד איז פאלטש (עס איז וויכטיג אנצימערקן אז אל העיטעם האט נישט פראבירט צי טרעפן א צווייטע אלטערנאטיוו פאר די פינפטע יסוד,
ער האט בלויז געוואלט אויפווייזן אז די פינפטע יסוד איז פאלטש, ווייל אפילו זיין פארטוישטע יסוד האט אויך די זעלבע קשיות וואס איז דא אויפן ערשטען ).
אבער ווי אזוי האט אזא מאטעמאטיקער ווי אוקליד דאס טאקע פארזען? פאר הונדערטער יארן האבן מאטעמאטיקער פראבירט צי טרעפן א סתירה אין אל העיטענ'ס מהלך אבער זיי זענען אין ערגעץ נישט אנגעקימען, איז לכאורה איז קלאר אז אוקליד איז נישט געווען גערעכט, ניין? אבער למעשה ווען מען קיקט אויפן מציאות זעט מער אויס ווי אוקליד איז גערעכט ווייל במציאות איז נישט מעגליך צי אויסשטעלן 2 שטריכן אויף איין פוינט איז עס זאל זיין אויף די זעלבע גראדקייט, איינס גייט מיזן זיין מער שיף פונעם צווייטן אויב נישט איז עס דאך איין שטריך, דעמאלטס אויב איז עס נישט שייך במציאות דאן איז יא אוקליד גערעכט...
אזוי זענען די סייענטיסטן און מאטעמאטיקער געווען ציקריגט צווישן זיך די פאר די לעצטע פאר הודערט יאר צו אוקליד איז געווען גערעכט צי נישט.
ביז, אין יאר 1820 האט א 17 יעריגע קינד מיטן נאמען באליא' (János Bolyai) אנגעהויבן צי פארשן אוקליד'ס ווערק, ער האט אוועק געגעבען פון זיך שעות אויף שעות צי פארשן און דערגריטעווען א וועג ווי אזוי עס זאל יא זיין א מהלך אז עס זאל זיין צוויי שטריכן אויף איין פוינט אין עס זאל יא זיין פאראלעל איינס צום צווייטן, ער האט אוועק געגעבען טעג און נעכט, וואכן, חדשים, און יארן און אפילו אין מיטן זיין ארבעט האט אים זיין טאטע (אויך א גרויסע מאטעמאטיקער) געשיקט א בריוו ווי ער בעט זיך ביי אים ער זאל אויפגעבן אויףזיין ארבעט ווייל ער גייט סייווי נישט אנקומען אוןערגעץ און ער פארפאטשקעט סתם זיינע יוגנט יארןפאר עפעס וואס איז אוממעגליך צו באווייזן, האט באליא' אוגנארירט זיין פאטערס בריוו'ן און ווייטער געארבעט אויף דעם פאר יארן.
ביז, און יאר 1823 איז פאר באליא' איינגעפאלן אז ווער זאגט אז אונז מוזן מאכן אונזערע מעסטונגען און רעכענונגען אין א פלאכע וועלט? אפשר קען מען רעכענען די גאנצע זאך אין געבויגענע פלאץ, דאס הייסט די פלאץ די שטח, און וואס מיר רעכענען קען זיין ציבויגן, און אין אזא וועלט איז מעגליך צי מאכן מער ווי איין שטריך אויף א ליין וואס גייט זיין פאראלעל צו א אנדערע שטריך, וועסטו פרעגן די שטריך איז דאך ציבויגן? די תירץ איז אז די שטריך איז באמת גראד נאר די פלאץ אין ווי די שטריך איז, איז ציבויגן....
די זאך וואס מאכט א גראדע שטריך אנדערש ווי א ציבויגענע איז נאר א גראדע שטריך איז די קורצע וועג וואס מען קען נעמען צווישן 2 נקודות, אבער אין א ציבויגענע שטח איז די קורצע וועג צווישן 2 נקודות א ציבויגענע שטריך, און אויב מען בייגט עס א געוויסע וועג גייען זיין אפאר מהלכים וואס גייען זיין די קורצע וועג צווישן 2 נקודות און עס גייט נאך אלטץ זיין פאראלעל איינס צום צווייטן.
א מער פארשטענדליכע משל איז, אז אן ערעפלאן גייט אייביג נעמען די קורצע וועג צווישן 2 לענדער,אבער אויב נעמט מען די רייזע פון אן ערעפלאן און מען קוקט עס אויף א גראדע מאפע גייט עס אויסזען געבויגן, ווייל באמת איז דאך די וועלט רינדעכיג, נאר דו קוקסט עס אויף א פלאכע מאפע!
א אנדערע מהלך ווי אל היטענס וועג אין די פינפטע יסוד קען שטימען איז אויף א רינדעכיגע שטח, אין א רינדעכיג שטח איז פאראלעל ליינס גרויסע צירקלען אויף א רינדעכיגע באלל און דארט איז אויך מעגליך צו זיין מער ווי איין פאראלעל ליינס אויף איין פוינט, ווייל אויב צוויי מענטשען אויף צוויי אנדערע פלעצער אויף דער הייבן אן צי שפאצירן און א גראדע ליניע צו דער נארט פאול גייט אויסקומען אן אינטערעסאנטע מציאות, פאר איינער וואס שטייט אינדרויסן פון די וועלט גייט אויסקוקן ווי עס איז דא עפעס א מיסטעריעזע כח וואס שטיפט ציזאם די צוויי מענטשן איינס צום צווייטן, און זיי גייען באמת ווערן נענטער איינס צום צווייטן, אפילו זיי גייען גראד און זיי האבן ביי זיך אפגעמאכט אז זיי גייען זיך נישט איינדרייען און ערגעץ גייען זיי צום סוף ווערן נענטער און נענטער ביז זיי גייען זיך ציזאמטרעפן.
די סיבה פארוואס א באלל פירט זיך אויף די זעלבע ווי א קנייטש און ציבויגענע פלאץ איז ווייל א באלל איז בעצם אויך א קנייטש, נאר אנשטאט א קנייטש אריין איז עס א קנייטש אויף ארויס אבער עס איז נאך אלץ א קנייטש אין מקום (ספעיס), אבער עס גייט זיך אויפפירן פינקט פארקערט ווי קנייטש אריין ווייל עס איז פונקט פארקערט.
למשל: א טרייענגל (א דריי עק) און פלאכע פלאץ, ווען מען וועט אויסרעכענען די סך הכל פון אלע ענגלס צוזאמען גייט אייביג נישט קיין חילוק ווי אזוי די טרייענגל איז אויסגעשטעלט אויסקומען צו 180,אבער און אריינגעקנייטשטע פלאץ גייט א טרייענגל אייביג אויסקומען אז די ענגלס זענען ווייניגער ווי 180 משא"כ און ארויסגעקנייטשטע פלאץ גייען דיענגלס אייביג זיין מער ווי 180.
איינמאל באליא' האט באמערקט אז עס איז דא מער ווי איין מהלך וואס גייט נישט מיט אוקליד'ס מהלך, האט ער געכאפט אז ווער זאגט אז אוקליד האט געמאכט א טעות? אפשר איז די גאנצע סיבה פארוואס ער האט געשריבן די פינפטע יסוד איז נאר געווען צי קלארשטעלן אז ער רעדט פון פלאכע פלאץ.
און טאקע דערפאר איז די פאקט אז א פוינט נעבן א ליין קען נאר האבן איין אנדערע פאראלעל ליין, אבער אויב מ'קען לייגן מער ווי איין ליין אויף א אנדערע פוינט וואס גייט זיין פאראלעל צו די ערשטע, מיינט אז די ביסט אין אריינגעבויגענע פלאץ, אויב קענסטו נישט לייגן קיין איין ליין וואס איז פאראלעל צו די ליין מיינט דאס אז דו ביסט אויף א באלל, איי פריער האט מען דאך געזאגט אז אויב זאג איך אז מען קען נישט מאכן קיין איין ליין אויף די פוינט איז זיך עס סותר מיט די צווייטע יסוד וואס זאגט אז א גראדע ליין קען ווערן ארויסגעצויגן פון ביידע זייטן אן קיין סוף ? און אויף א באלל איז טאקע נישט מעגליך צו מאכן א גראדע ליין אן א סוף ווייל עס איז דאך רינדעכיג און יעדע ליין גייט צוריק קומען צי די זעלבע פלאץ ווי מען האט אנגעהויבן ? נאר די צווייטע יסוד האט במשך די יארן געמאכט אסאך פראבלעמען און סתורות ביי אנדערע מאטעמאטישע חשבונות און די פראבלעמען האבן נישט אויפגעהערט ארויף קומען ביז מען איז געקומען צו א מסקנה אז די צווייטע יסוד האט מען נישט קלאר פארשטאנען און די צווייטע איז נישט אז עס קען ווערן ארויסגעצויגן אין סוף, נאר עס קען ווערן אויסגעצויגן ביז די עק פין די פלאץ ווי די ליין איז.
יעצט ביי א באלל ענדיגט זיך די פלאץ דארט ווי עס הייבט זיך אן, וועגן דעם גייט די ליין אויך זיך ענדיגן דארט ווי עס האט זיך אנגעהויבן.
מיט דעם האט זיך די מאטעמאטישע וועלט אביסל אפגעשטילט פון די שווערע שטורעמעס וואס האטזיך געשאפן פון אוקליד'ס ביך, אלעס האט שויןגעשטימט און יעדער איז געווען ציפרידן.
אבער די שטילקייט האט נישט אנגעהאלטן פאר צולאנג…
אין יאר 1874 איז דער מאטאמאטיקער "קאנטאר" ארויסגעקימען מיט א נייע מהלך פון ניצן מאטאמאטיק אז מען זאל נישט דארפן ניצן קיין פארומען, נאר מען זאל קענען ניצן די נומערן פאר זיך אליין. ער האט דאס געריפן "סעט טעאריע".
ווי אזוי די טעאריע ארבעט איז, אז מען קוקט אן די
גאנצע וועלט ווי א צוזאמשטעל פון סעטס, למשל, עס איז דא א סעט פון אלע בנינים אויף דער וועלט, און די נאמען פאר די סעט איז: "בנינים", אויך איז דא א סעט פון אלע מענטשן אויף אויף דער וועלט, און די נאמען פאר די סעט איז: "מענטשן". אלעס פון דער וועלט ליגט אין א סעט וואס הייסט: "אלעס", און גארנישט ליגט נישט אין די סעט וואס הייסט: "גארנישט"...
קענטאר האט געטראכט אז עס איז דא א סעט וואס הייסט: "נומערן" וואס אין דעם איז דא אן ענדלאזער נומער פון סעטס, די ערשטע סעט הייסט: "איינס", אין די סעט איז דא אלע זאכן וואס איז דא נאר איינס דערפון, נאכדעם איז דא א סעט וואס הייסט: "צוויי" די סעט באשטייט פון אלע זאכן וואס פון דעם איז דא צוויי, דערנאך איז דא דריי, דערנאך פיר און אזוי ווייטער אן קיין סוף.
ווען איינער זאגט פאר איינעם "געב מיך צוויי טאמאטעס" מיינט יענער צו זאגן "געב מיר אזוי פיל טאמאטעס, וויפיל עס איז דא פון אלע זאכן וואס ליגן אין די סעט וואס הייסט צוויי"
אזוי איז אויך דא א סעט פון אלע נומערן ציווישן 0 און 1, ווי למשל 0.6736784 אדער 0.656256. און די סעט איז אויך ענדלאז וויבאלד 0.1 קען מען דאך אויך ציטיילן אין האלב, און 0.05 קען מען אויך ציטיילן און האלב, נישט קיין חוליק ווי א קליינע נומער מען וועט נעמען, קען מען אלץ פרעגן "וואס האסטו זיך אפגעשטעלט דא? ציטייל עס ווייטער?"
האט מען צוויי סעטס (די סעט פון פשוטע נומערן, און די סעט פון נומערן ציווישן זעראו און איינס)וואס האבן און זיך די זעלבע סאך פון די זעלבע זאך. ביידע האבן אין זיך נומערן,און ביידע האבן ענלאז דערפון. איז מיט וואס זענען זיי צוויי עקסטערע סעטס? ביידע האבן אלעס די זעלבע?
האט קענטאר מסביר געווען אז, גערעכט אז ביידע האבן ענדלאז נומערן, אבער די סעט פון נומערן ציווישן 0 און 1, איז א גרעסערע ענדלאז ווי די סעט פון אלע פשוטע נומערן. כדי דאס מסביר צי זיין האט ער זיך פארגעשטעלט ווי ער מאכט א ליסטע פון אלע נומערן אויף א וועג אז מען שטעלט ציזאם אלע גאנצע נומערן אויף איין זייט, מיט א נומער ציווישן 0 און 1 אויף די אנדערע זייט.
וויבאלד די נומערן ציווישן 1 און 0 זענען סייווי ענדלאז לאנג, קען מען עס שרייבן צימישט ווייל עס איז סייווי נישטא קיין ערשטע, די עיקר איז אז מען זאל האבן אויף די ליסטע אלע נומערן וואס איז נאר פארהאן (די ליסטע איז ענדלאז לאנג).
אויב קען איך מאכן אזא ליסטע אן דעם וואס קיין נומער זאל איבערבלייבן מוז זיין אז עס איז דא די זעלבע סאך נומערן אין ביידע סעטס. אבער אויב בלייבט איבער פון איין סעט א נומער מוז זיין אז יענע סעט איז גרעסער ווי די אנדערע.
קאנטאר האט אויפגעוויזן אז נאכן ענדיגן די ליסטע גייט אייביג איבערבלייבן א נומער ציווישן 1 און 0.
ער האט געזאגט אז אויב נעמט מען דיערשטער נומער פון שורה 1 און מען לייגט צו איינס צו די נומער (פלאס 1) דערנאך לייגט מען צו איינס צו די צווייטע נומער פון שורה 2, דערנאך צי די דריטע פון שורה 3, און די פערטע פון שורה 4, די פינעפטע פון 5, און אזוי ווייטער, גייט מען האבן א נייע נומער וואס עס מוז זיין אז עס שטייט נישט אויף די ליסטע, ווייל עס איז אנדערש ווי די ערשטע, און ווי די צווייטע און ווי די דריטע און ווי אלע! מוז זיין אז עס איז דא מער פון די נומערן ציווישן זעראו און איינס, וויבאלד פון דעם איז דא א נומער וואס שטייט נישט אויף די ליסטע!
אבער דא האבן די סקעפטיקער אויפגעברענגט אן ערנסטער פראבלעם מיט קאנטערס טעאריע, לויט קאנטאר אז די גאנצע מציאות פון נומערן איז נאר א סיסטעם געבויעט אויף סעטס, שטימט נישט די גאנצע נושא פון נומערן, ווייל לכאורה קען מען נישט מאכן מער סעטס פון זאכן ווי זאכן וואס איז דא און נומערן איז דאך ענדלאז, און דאס מיינט אז עס איז דא א ענדלאזע נומער פון סעטס אבער די סעטס באשטייען פון זאכן וואס ענדיגן זיך יא! איז ווי אזוי קען זיין אזא זאך?
אבער קאנטאר האט זיך נישט דערשראקן אזוי שנעל... קאנטאר איז אויפגעקומען מיט א בריליאנטע תיריץ אויף די קשיא און צו דעם האט ער
אוועקגעשטעלט אן אייזערנע ראי' און באווייז דערצו. קאנטאר האט אויפגעוויזן אז נישט נאר וואס מען קען יא מאכן מער סעטס פון זאכן וויפיל זאכן עס איז דא,נאר עס גייט אייביג זיין מער סעטס ווי זאכן, אפי' עס איז דא א ענדלאזע נומער פון זאכן!
זיין ראי' דערצו איז פשוט, לאמיר זאגן אז די וואוינסט אין א וועלט ווי עס איז דא א ענדלאזע נומער פון מענטשן, יעצט וויפיל סעטס פון מענטשן קען מען מאכן?
די גרעסטע סעט וועט לכאורה זיין די סעט וואס יעדער איז א חלק דערפון, די קלענסטע סעט וועט לכאורה זיין די סעט וואס קיינער איז נישט קיין חלק דערפון, און אונדערצווישן די גרעסטע סעט און די קלענסטע סעט וועט זיין א ענדלאזע נומער פון
סעטס, געוויסע מיט זייער אסאך מעמבער'ס און געוויסע מיט אביסל מעמבער'ס, יעצט אנשטאט זיך שטעלן ציילן וויפיל סעטס עס זענען דא און דערנאך וויפיל מענטשן עס זענען דא צו זעהן פון וואס עס איז דא מער, איז דא אן אנדערע וועג, מען קען זעהן אויב עס איז דא א מעגליכקייט צו צוזאמשטעלן יעדע מענטש צו א סעט, אויב עס איז מעגליך ווייסט מען אז ביידע ענדלאזע סעטס זענען די זעלבע גרויס אבער אויב בלייבט איבער פון איין גרופע עפעס וואס מען קען נישט צוזאמשטעלן מיט עפעס פון די אנדערע גרופע מיינט דאס אז די גרופע פון וואס עפעס איז איבערגעבליבן איז גרעסער ווי די אנדערע גרופע.
לאמיר זאגן אז מען קען יא צוזאמשטעלן יעדע מענטש צו א סעט און יעדע מענטש האט א סעט מיט וואס ער איז צאמגעפארט געווארן, ווען מען וועט באטראכטן אלע סעטס וועט מען זעהן אז עס איז דא געוויסע מענטשן וואס זענען צוזאמענגעשטעלט געווארן מיט א סעט וואס זיי זענען גראדע אויך א מעמבער אין די סעט (למשל די מענטש וואס איז געווארן צוזאמגעפארט געווארן מיט די סעט וואס הייסט"אלע מענטשן" וואס יעדער איז א חלק דערין) און מען וועט זעהן אז עס איז דא געוויסע מענטשן וואס זענען צוזאמענגעשטעלט געווארן מיט א סעט וואס זיי זענען נישט א מעמבער אין די סעט (למשל די מענטש וואס איז געווארן צוזאמגעפארט געווארן מיט די סעט וואס הייסט "קיינער" וואס קיינער איז נישט קיין חלק דערין)
יעצט לאמיר מאכן א נייע סעט, די סעט וועט אינהאלטן אלע מענטשן וואס זענען געווארן צוזאמענגעשטעלט מיט א סעט וואס זיי זענען נישטקיין חלק דערין, די נייע סעט וועט מען רופן: "סעטx".
אבער דא ווערט א פראבלעם, ווייל אזוי ווי יעדע מענטש דארף ווערן צוזאמענגעשטעלט מיט א סעט,(ווייל אויב נישט איז דא מער סעטס ווי מענטשן) דארף די נייע "סעט x" אויך ווערן צוזאמענגעשטעלט מיט א מענטש, אבער ווען מען שטעלט צוזאם א מענטש מיט די סעט שטעלט זיך די שאלה: איז די מענטש א מעמבער אין די סעט מיט וואס ער איז צאמגעפארט אדער נישט? אויב קימט מען צו די מסקנה אז די מענטש איז נישט קיין מעמבער אין די סעט, דעמאלטס באלאנגט ער אין סעט x, (ווייל יעדער וואס איז נישט קיין מעמבער אין די סעט מיט וואס ער איז צאמגעפארט באלאנגט אין סעט x) אבער אויב איז ער א מעמבער אין "סעט x" קומט אויס אז ער איז צאמגעפארט מיט א סעט וואס ער איז יא א מעמבער, באלאנגט ער נישט אין סעט x...
אלא מאי אז ער איז יא א מעמבער אין "סעט x," ווערט אבער שווער, ווייל ער איז דאך געווארן צוזאמענגעשטעלט מיט "סעט x", אויב אזוי איז ער א מעמבער פון די סעט מיט וואס ער איז געווארען צוזאמענגעשטעלט באלאנגט ער נישט אין "סעט x" איז ער נישט קיין מעמבער, באלאנגט יא אין "סעט x"...
עפעס שטימט נישט דא, אבער לאמיר זיך דערמאנען, ווי זענען אונז צוגעקומען צו די גאנצע פראבלעם? נאר ווייל מיר האבן אפגעמאכט אז מען קען צוזאמשטעלן יעדע סעט מיט א מענטש... מוז מען זאגן אז עכט קען מען נישט צוזאמשטעלן יעדע סעט מיט א מענטש און עס איז טאקע דא מער סעטס ווי מענטשן.
פאר קאנטאר איז נאכאמאל געלונגען צו פארענטפערן זיינע קעגנערס נאכאנאנדע אטאקעס און פראבעס אים אפצופרעגן, קאנטארס טעאריע איז געווען א באמבע אין מאטאמאטיק, שווערע מחלוקות האט אויסגעבראכן ציווישן די מאטאמאטיקער, געוויסע האבן געהאלטן אז קאנטאר זייעט אן א חרבן אין מאטאמאטיק און ער פארדרייט יעדעם פון די ריכטיגער מהלך פון מאטאמאטיק, אין געוויסע האבן אויפגעלאכטן מיט זיין נייע מהלך וואס האט נישט געהאט די אלע פראבלעמען וואס יאקלעטס מאטאמאטיק האט געהאט.
ציווישן די קאנטאר סימפאטיקער איז געווען א מאטאמאטיקער, געהייסן האט ער "הילבערט", מיט די צייט איז ער געווארן די אומאפיציעלע פירער פון די קאנטאר סימפאטיקער, ער האט געהאלטן אז מיטן אננעמען קאנטארס טעאריע וועט ווערן פארענטפערט אלע קשיות און סתורות וואס מאטאמאטיק האט געהאט ביז קאנטאר.
אבער קאנטארס טעאריע איז בכלל נישט געווען ריין פון קשיות, עס זענען געווען אסאך קשיות מיט וואס די צד שכנגד האט פראבירט אפצופרעגן קאנטאר. א שטייגער ווי דאס וואס די מאטאמאטיקער "ראסל" האט געפרעגט אויף די סעט טעאריע.
אין 1901 איז פאר ראסל איז שווער געווען, אויב סעטס קענען האבן סעטס דערין מיינט דאס אז זיי קענען האבן אין זיך, זיך אליין! למשל די סעט פון אלעס מוז האבן זיך אליין אין זיך, ווייל אויב נישט, האט עס נישט אלעס אין זיך, און אויב האט עס נישט אלעס אין זיך איז עס שוין נישט די סעט פון אלעס. די זעלבע זאך איז מיט "די סעט פון אלע סעטס וואס האבן זיך אליין אין זיך"
אבער וואס איז מיט "די סעט פון אלע סעטס וואס האבן נישט זיך אליין אין זיך"...
אויב די סעט האט נישט זיך אליין אין זיך, דאן מוז די סעט האבן זיך אליין אין זיך… אויב האט די סעט יא זיך אליין אין זיך, דאן קען די סעט נישט האבן זיך אליין אין זיך. קומט אויס אז די סעט קען נאר האבן זיך אליין אין זיך, אויב די סעט האט נישט זיך אליין אין זיך…
ראסל האט געטראפן א סתירה אין קאנטארס טעאריע. ער האט דאס מסביר געווען מיט א משל:
לאמיר זאגן אז עס איז דא א שטאט ווי עס איז דא א געזעץ אז יעדער אן קיין אויסנאם מוז זיך שערן.
אבער מען דארף זיך שערן ביים שערער, און די שערער מעג נאר שערן איינעם בתנאי אז יענער שערט זיך נישט אליין. אבער די שערער וואוינט דאך אויך אינעם שטאט און ער האט אויך האר, איז ווער שערט אים? אויב שערט ער זיך נישט אליין, דארף די שערער אים שערן, אבער ער איז דאך די שערער און די שערער שערט נאר איינער וואס שערט זיך נישט אליין. קומט אויס אז ער קען זיך נאר שערן אויב ער שערט זיך נישט…
די סקעפטיקער פון קאנטאר האבן אויפגעטאנצן מיטשמחה אז עס איז זיי ענדליך געלונגען צו אפפרעגן קאנטאר, זײ זענען געווען זיכער אז יעצט וועט שויןיעדער אריבערקומען צו זייער זייט און קאנטאר וועט שוין נישט האבן קיינעם צו זיין זייט. אבער הילבערט איז נישט געווען גרייט אויפצוגעבן אזוי שנעל...
הילבערט האט מסביר געווען אז א סעט מיינט דאך א גרופע פון זאכן, און פונקט ווי א גרופע פון זאכן קען נישט האבן זיך אליין אין זיך, אזוי אויך קען מען נישט זאגן אז א סעט אנטהאלט זיך אליין אין זיך, און אויב א סעט קען נישט האבן זיך אליין אין זיך, איז דאך נישט שווער די גאנצע קשיא אויף קאנטאר!
פאר הילבערט איז טאקע געלונגן צו פארענטפערן נאך א קשיא פון די סקעפטיקער, און דאס מאל איז אים אפילו געלונגן אריבערצוברענגען ראסל -איינער פון די גרעסטע מאטעמאטיקער אויף די אנדערע זייט צו זיין זייט, אבער די קשיות האבן זיך נישט דא גענדיגט...
מיט די יארן האבן געהאלטן און איין ארויפקומען שווערע קשיות אויף קאנטארס טעאריע, און הילבערט האט זיך יעדעס מאל געדארפט מוטשענען און פראבירן צו אויפקומען מיט תריצים צו פארענטפערן זייערע שווערע קשיות.
עס איז אנגעקומען צו א מצב אז הילבערט האט אפגעמאכט אז ער גייט אויפקומען מיט א נייע מהלך פון באווייז אויף קאנטארס טעאריע. די ציל פארשטייט זיך איז אז מער זאָל מען שוין נישט פרעגען קיין קשיות אויף קאנטארס טעאריע, זיין באווייז גייט זיין אזוי קלאר אז ווען איינער גייט האָבן קשיות אויף קאנטארס טעאריע גייט מען אים זאגן "קאנטארס טעאריע איז זיכער א פאקט, בסך הכל האסטו עפעס וואס די פארשטייסט נישט" אזוי אויך האט ער געוואלט אויפקומען מיט א נייע מהלך פון רעכענען וואס זאל זיין געבויעט אויף קאנטארס טעאריע, די מהלך זאל זיין געבויעט מיט מאטעמאטישע סימבאלן וואס זענען קלאר און דייטליך און זײ ברענגען ארויס קלאר וואס מען וויל זאגן מיט דעם, חוץ פון דעם זאל די סיסטעם זיין ריין פון לעכער און צווייפלהאפטיגע סטעיטמענטס וואס אויב בויעט מען אויף דעם, איז מעגליך אז שפעטער גייט די בנין שוואַך ווערן דורך שאלות און סתירות אויף די אנהייב, אזוי ווי אויף יאקלעטס מאטעמאטיק.
הילבערט האט זיך געוואנדן צי זיין שוין יעצט חבר,ראסל, אז ער זאל אים ארויסהעלפן מיטן אויפבויען דעם נייעם מאטעמאטישער בנין, ראסל האט דאס גלייך אנגענומען און ער האט גלייך אנגעהויבן צוארבעטן אויף א סעריע פון ביכער וואָס און דעם גייט זיין פארשריבן די באווייז און די יסודות פון קאנטארס און זיין תלמיד הילבערטס טעאריע איבער מאטעמאטיק
און פאקט איז ער געווען אזוי אונטאזיאסטיש איבער זיין בוך, אז ווען ער האט אריינגענומען זיין חבר "ווייטהעד" אין די מלאכה האט ער ממש זיך אריינגעצויגן מיט ווייטהעד אין איין הויז נאר צו ענדיגן שנעלער די ארבעט!
און טאקע נאך איין יאר זענען זיי ארויסגעקומען מיט די ערשטע חלק פון זייער סעריע. זיי האבן עס גערופן "פרינקיפיא מאטעמאטיקא" עס איז געווען פיל מיט שווערע רעכענונגען און דייעגראמען, און פאר א פשוט'ע מענטש האט דאס אויסגעזען ווי עפעס א קאטשקעריי פון די חרטימום פון מצרים...עס נעמט איבער זיבן הונדערט זייטן נאר צו אויפווייזן אז איינס מיט איינס איז צוויי ...
פרינקיפיא מאטעמאטיקא
א צייט שפעטער האבן די צוויי ארויסגעגעבן די צווייטע חלק פון זייער בוך, און דערנאך די דריטע חלק. זיי האבן אפי' געוואלט ארויסגעבן א פערטע חלק, אבער זיי זענען געקימען צו די מסקנה אז עס איז נישט ווערט די ארבעט, און די סיבה איז געווען וויבאלד קיינער האט דאס נישט געקויפט…
אין פאקט זענען זיי גערעכט געווען. נישט נאר וואס קיינער האט דאס נישט געוואלט קויפן. נאר קיין איין פירמע האט נישט געוואלט דריקען אדער פאבלעצירן די ביכער. ראסל און ווייטהעד האבן אליינס געדארפט צאלן די הוצאות פון דריקן די ביכער, פון זייער אייגענע טאש. עס איז געווען אזוי שווער און קאמפלעצירט אז ראסל האט שפעטער געזאגט אזער ווייסט נאר פון זעקס מענטשן וואס האבן דורך געליינט, אפי' נאר איין בוך ביז צום סוף.(אגב, פארשער זענען ביי די מיינונג אז עס האט זיך נישט צופיל געטוישט זינט דאן…)
אבער דאס איז וואָס הילבערט האט געוואלט, עס איז געווען קלארע באווייז. אן קיין פלאץ פאר לעכער אדער סיי וואסערע אפפרעג. און די עיקר, יעדע מאטאמאטישע חשבון קען מען נאכגיין ביז צום אנהייב צו די יסוד.
די סיבה פארוואס הילבערט האט זיך אזוי געפרייט דערמיט איז געווען, וויבאלד הילבערט האט געהאלטן אז די נייע בוך פארענטפערט 3 קשיות וואס ער האט אטלס געהאט אויף מאטאמאטיק בכלל.
1) קען מען אויפווייזן יעדע אמתע זאץ? (ד.ה. עס איז נישט דא קיין זאך וואס איז אמת, און מען קען דאס נישט אויפווייזן.)
2) איז מאטאמאטיק פריי פון סתירות? (ד.ה. אויב קען מען אויפווייזן א געוויסע זאך, אבער מען קען אויך אויפווייזן אז די זאך איז נישט אמת)
3) איז דא א וועג צי נעמען א זאץ און אויסרעכענען צי עס שטימט מיט די יסודות פון מאטאמאטיק.
הילבערט האט געהאלטן אז די בוך ווייזט קלאר אויף אז די תירוץ אויף די אלע קשיות איז, יא.
אבער און 1930 איז געקימען צי "דשאן וואן נוימאן" (איינער פון הילבערטס תלמידים) א פיר און צוואנציג יעריגע דייטשע מאטאמאטיקער מיטן נאמען "קורט גודל" (Kurt Gödel) ער האט געטענט אז ער האט די תירוץ אויף די ערשטע צוויי פון הילבערטס דריי קשיות. ער האט געהאלטן אז די תירוץ איז: ניין.
אבער פאר מען גייט צו די ראיות אז ניין, פעלט זיך אויס צו מאכן עטלעכע קורצע הקדמות.
קודם פעלט זיך אויס צו מסביר זיין וואס איז דאס
"פריים נומערן".
פריים נומערן זענען נומערן וואס קענען בלויז צעטיילט ווערן דורך זיך אליין און דורך 1. דאס מיינט אז זיי האבן נאר צוויי פאקטארס (נומערן אין וואס מען קען זיי ציטיילן). למשל, 7 איז פריים ווייל עס קען נאר צעטיילט ווערן דורך 1 און 7, און עס גיט א פולשטענדיגע ענטפער אן קיין דעצימאלן אדער נישט גאנצע נומערן. אבער 6 למשל, איז נישט קיין פריים, ווייל עס קען צעטיילט ווערן דורך 1, 2, 3, און 6. דער נומער 1 זעלבסט ווערט נישט באטראכט אלס פריים נומער. דאס איז ווייל 1 קען נאר ציטיילט ווערן אויף איין וועג, דאס איז אויף איין...
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 זענען ביישפילן פון פריים נומערן.
וואס איז אזוי מוראדיג מיט די פריים נומערן? ווייל יעדע נומער וואס איז נישט קיין פריים, באשטייט בעצם פון פריים נומערן. למשל צען באשטייט פון צוויי און פינעף (ווייל צוויי מאל פינעף איז צען), דרייסיג באשטייט פון צוויי, דריי, און פינעף ( ווייל 2x3x5 קומט אויס דרייסיג) און אזוי ווייטער יעדע נומער וואס איז נישט קיין פריים באשטייט בעצם פון פריים נומערן ווייל די פריים נומערן זענען די ציגל און די אטאמען פון נומערן.
יעצט ווי אזוי רעכענט מען אויס פון וואספארא פריים נומערן א נומער איז צוזאמגעשטעלט ?
ווען מיר ווילן פארשטיין וואס א נומער איז באמת, דארפן מיר קענען אויסרעכענען זיינע פריים נומערן פון וואס עס איז געמאכט. דאס איז דער אזוי גערופענער פראצעס פון "פריים פאקטאריזאציע". די מערסט פשוטע פארשטענדליכע און עפעקטיווע וועג דורכצופירן פריים פאקטאריזאציע איז דורך די טרייעל דיוויזשאן מעטאד. דאס איז א גרונטליכער, טריט-ביי-טריט צוגאנג וואס יעדער קען פארשטיין און דורכפירן, אפילו אן קיין פארגעשריטענע מאטעמאטישע קענטעניסן.
די טרייעל דיוויזשאן מעטאד באזירט זיך אויף א פשוטע געדאנק: נעמליך יעדער נאטורליכער נומער גרעסער ווי 1 קען אויסגעדריקט ווערן אלס אפראדוקט פון פריים נומערן, דאס איז באקאנט אלסדער פונדאמענטאלער טעארעם פון אריטמעטיק, און עס איז דער יסוד פון ווי אזוי מיר פארשטייען די סטרוקטור פון נומערן. פריימס זענען ווי די אטאמען פון די נומערן, זיי קענען נישט ווייטער צעבראכן ווערן. יעדער אנדער נומער וואס איז נישט פריים, איז ווי א מאלעקיול – א צוזאמענשטעל פון די גרונט-שטיינער.
יעצט, ווי אזוי פירט מען דורך די טרייעל דיוויזשאן מעטאד? לאמיר אנהייבן מיט דעם נומער N וואס מיר ווילן פאקטאריזירן. מיר הייבן אן דורך פרובירן צו זען אויב 2, דער קלענסטער פריים נומער, איז א פאקטאר פון אונזער נומער. דאס הייסט, מיר צוטיילן N דורך 2 און קוקן אויב מיר באקומען א גאנצן נומער. אויב יא, דאן איז 2 א פריים פאקטאר פון N. אויב ניין, דאן איז 2 נישט קיין פאקטאר, און מיר גייען ווייטער צום נעקסטן פריים נומער, 3.
לאמיר נעמען א ביישפיל: מיר ווילן פאקטאריזירן דעם נומער 84. מיר באטראכטן די פריים נומערן דער רייע נאך און קוקן וועלכע פון זיי גייען ארייןאין 84 אן קיין האלבע אדער נישט גאנצע נומערן.
מיר הייבן אן מיט 2 און זען אז 84 ÷ 2 = 42. יא, 2 טיילט זיך אריין גלאטיג אין 84, קימט אויס אז 2 איז
א פריים פאקטאר פון 84. יעצט, אנשטאט צוריקצוגיין צו 84, ארבעטן מיר ווייטער מיט 42 און זעען אויב 2 טיילט זיך נאכאמאל אריין. 42 ÷ 2 = 21. יא, 2 טיילט זיך נאכאמאל גלאטיג אריין, און דעריבער איז 2 א פאקטאר פון 84 כאטש צוויי מאל. יעצט מיר ארבעטן מיט 21 און קוקן אויב 2 טיילט זיך נאכאמאל אריין. 21 ÷ 2 = 10.5, וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. דאס מיינט אז 2 טיילט זיך שוין נישט אריין, און מיר דארפן גיין צום נעקסטן פריים נומער, 3.
מיר פרובירן 3: 21 ÷ 3 = 7. יא, 3 טיילט זיך גלאטיג אריין אין 21, איז 3 אויך א פריים פאקטאר פון 84. יעצט ארבעטן מיר מיט 7 און קוקן אויב 3 טיילט זיך נאכאמאל אריין. 7 ÷ 3 = 2.33..., וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. קומט אויס אז 3 גייט נישט ארייןאין 7 , און מיר גייען ווייטער צום נעקסטן פריים, 5.
מיר פרובירן 5: 7 ÷ 5 = 1.4, וואס איז נישט קייןגאנצער נומער. 5 איז נישט קיין פאקטאר פון 7.
מיר פרובירן 7: 7 ÷ 7 = 1. יא, 7 טיילט זיך פאקטיש אריין אין זיך אליין (ווי יעדער נומער טוט), און מיר באקומען 1 אלס רעזולטאט. ווען מיר דערגרייכן 1, ווייסן מיר אז מיר האבן געפונען אלע פריים פאקטארס און די פאקטאריזאציע איז פארענדיגט.
דעריבער, די פריים פאקטאריזאציע פון 84 איז 2² × 3 × 7. דאס מיינט אז 84 = 2 × 2 × 3 × 7. דו קענסט איבערטשעקן דאס דורך מולטיפליצירן די פאקטארס: 2 × 2 = 4, 4 × 3 = 12, 12 × 7 = 84.
אזוי קען מען געוואר ווערן די פריים נומערן פאר יעדע נומער!
(אבער די טרייעל דיוויזשאן מעטאד קען זיין זייער לאנג און פארצויגן פאר גרויסע נומערן. וועגן דעם איז דא א וועג צו פארבעסערן די עפישענסי פון דער מעטאד. די טריק איז צו פארשטיין אז אויב א נומער N האט א פאקטאר גרעסער ווי זיין קוואדראט-רוט
(√N), דאן מוז ער אויך האבן א פאקטאר וואס איז קלענער ווי זיין קוואדראט-רוט. דאס מיינט אז מיר דארפן נאר טעסטן פריים נומערן ביז די קוואדראט-רוט פון N. אויב מיר געפינען קיין פאקטאר ביז דארט, דאן איז N אליין א פריים נומער.
צום ביישפיל, אויב מיר ווילן פאקטאריזירן 101, דארפן מיר נאר טעסטן פריים נומערן ביז 10 (ווייל 10² = 100, וואס איז נאענט צו 101). מיר וועלן טעסטן 2, 3, 5, 7, און פעסטשטעלן אז קיינער פון זיי טיילט זיך נישט אריין אין 101 אן קיין ציטיילטע נומערן. דערפאר איז 101 אליין א פריים נומער.
לאמיר נעמען נאך א ביישפיל: מיר ווילן פאקטאריזירן 220. די קוואדראט-רוט פון 220 איז בערך 14.83, ממילה דארף מען נאר טעסטן פריים נומערן ביז 14. לאמיר זען:
2: 220 ÷ 2 = 110. יא, 2 איז א פאקטאר. 2: 110 ÷
2 = 55. יא, 2 איז נאכאמאל א פאקטאר. 2: 55 ÷ 2
= 27.5, וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. 2 איז שוין נישט א פאקטאר. 3: 55 ÷ 3 = 18.33...,וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. 3 איז נישט קיין פאקטאר. 5: 55 ÷ 5 = 11. יא, 5 איז א פאקטאר.
5: 11 ÷ 5 = 2.2, וואס איז נישט קיין גאנצער נומער.
5 איז שוין נישט א פאקטאר מער. 7: 11 ÷ 7 =
1.57..., וואס איז נישט קיין גאנצער נומער. 7 איז נישט קיין פאקטאר. 11: 11 ÷ 11 = 1. יא, 11 איז א פאקטאר.
דעריבער, 220 = 2² × 5 × 11.
איינמאל נאך, מיר קענען איבערטשעקן די ענטפער:
2 × 2 = 4, 4 × 5 = 20, 20 × 11 = 220. ).
נאך א הקדמה וואס פעלט אויס צו מאכן פאר מען גייט ווייטער איז א וועג פון רעכענען וואס ווערט גערופן "רעכענען מיט כח נומערן". א כח נומער איז א נומער וואס ווייזט אן וויפיל מאל צי פארדאפלען די נומער און זיך אליין דאס הייסט אויב האב איך די נומער צען און די כח נומער (וואס איז א קליינע נומער אויבן אויף די רעכטע זייט) איז דריי, מיינט דאס נעם די נומער צען מאל צען מאל צען (10x10x10) קומט אויס אז די סך הכל פון צען מיט די כח נומער דריי איז טויזענט. אדער צען מיט די כח נומער פינעף איז א סך הכל הונדערט טויזענט (ווייל 10 מאל 10 איז הונדערט, מאל צען איז טויזענט, מאל צען איז צען טויזענט, מאל צען איז הונדערט טויזענט) מען ניצט דאס בעיקער ביי גאר גרויסע וואס מען האט נישט קיין פלאץ צי שרייבן, און מיט די מהלך קען מען שרייבן די נומער ביליאן (וואס דאס איז א נומער מיט צען נומערן) מיט בלויז דריי נומערן.10⁹(צען צי די פאוער פון ניין).
נאך איין קלייניקייט איז אז אלעס אין די מאטעמאטישע שפראך ווערט אויסגעדריקט מיט סיבאלן אבער נישט נאר ווערטער וואס ער ניצט צו רעכענען נאר אפילו נומערן וואס שטעלן די פשוטע ווערטער ווי "נישט, יא, בערך, אסאך, ווייניג," א.א.וו.
ווי למשל: די זאץ איינס איז נישט צוויי, שרייבט מען און די מאטעמאטישער שפראך אזוי: 2=~1 דאס הייסט: איינס 1 גייט נישט אויסקומען =צוויי 2 און אזוי ווייטער יעדע זאץ האט א וועג עס אפצישרייבןמיט מאטעמאטישע סימבאלן.
שוין צוריק צי גאדל. די געדאנק פון גאדלס מהלך פון רעכענען הייבט זיך אן מיט א כלל: יעדע מאטעמאטישע סימבאל ווי למשל: פלאס, מיינעס, טיימס, דיווייטעד, מער פון, ווייניגער פון, נישט בערך, און אזוי ווייטער, ווערט פרעזענטירט מיט א נומער (וואס אגב רופט מען עס די גאדל נומער) די = (קומט אויס) סימבאל, באקומט די גאדל נומער 5 די ~(נישט) סימבאל, באקומט די גאדל נומער 1, א.א.וו. יעדע סימבאל באקומט א נומער, און די נומערן רעכענט מען אויך מיט גאדל נומערן אבער אנשטאט געבן פאר יעדע נומער א עקסטערע גאדל נומער און מען וועט קיינמאל נישט ענדיגן געבן גאדל נומערן, האט קורט באשטימט אז די נומער 0 באקומט די גאדל נומער 6 דערנאך איז דא א סימבאל וואס רופט זיך סאקסעסער (s), די ארבעט פון די סאקסעסער איז אז ווען מען שטעלט עס נעבן א נומער דינט עס אלץ צילייגער (sucseser) צו די פריערדיגע נומער, למשל די נומער 3 איז א ציזאמשטעל פון 0 און דריי צילייגערס, אדער די נומער 8 איז א ציזאמשטעל פון א 0 און אכט צילייגערס אזוי יעדע נומער וואס מען וויל שרייבן קען מען עס שרייבן מיט א 0 און אזויפיל צילייגערס ווי די נומער וואס מען וויל שרייבן קומט דאס אויס די נומער, און ווען מען לייגט צי נאך א צילייגער ווערט עס איין נומער מער.
טייל פון די גאדל נומערן
יעצט, אין גאדלס נומערן באקומט די צילייגער סימבאל די נומער 7, און די נומער 0 האט דאך די נומער 6, קומט אויס אז די גאדל נומער פון די נומער'2' איז 2,7,7,
אזוי אויך קען מען שרייבן מאטעמאטישע חשבונות מיט די נומערן למשל די חשבון "גארנישט קומט אויס גארנישט" (0=0) קען מען שרייבן 6,5,6 אבער עס איז דא א וועג צי מאכן א נייע נומער פון די חשבון, ווי אזוי? מען נעמט די פריים נומערן און מען לייגט עס אונטער די גאדל נומערן אויף א וועג אז די גאדל נומערן זאלן זיין די כח נומערן פון די פריים נומערן, צום ביישפיל די חשבון פון גארנישט קומט אויס
גארנישט (0=0) וואס האט די גאדל נומערן 6,5,6 קען מען צילייגן די ערשטע פריים נומערן (5,3,2) פון אונטן און עס וועט אויסקומען אז 6 איז די כח נומער פון 2 וואס דאס מיינט אז די סך הכל פון די ערשטע נומער איז 64 די צווייטע פריים נומער איז 3 און די כח נומער איז 5 איז די סך הכל 243. די דריטע פריים נומער איז 5 און די כח נומער איז 6 קומט אויס אז די סך הכל פון די דריטע נומער איז 15,625 . דערנאך רעכענט מען ציזאם אלע סך הכל'ס
ניצענדיג טיימס (×) און די סך הכל (וואס גייט און די פאל זיין 243,000,000). און די סך הכל איז די גאדל נומער פאר די חשבון פון 020 און גאדל נומערן.
די סיבה פארוואס מען דארף גיין אזא
קאמפלעצירטע מהלך איז ווייל ווען איינער גייט זאגן אז די נומער פון 020 איז 243,000,000 זאל קענען זיין א וועג אויסציגעפינען וועלכע נומערן האבן ציזאמגעשטעלט די חשבון, ווי אזוי טוט מען דאס ?
דורך א פריים פאקטערעזאציע, ווי אויסגעשמיסט אין די הקדמה אז יעדע נומער קען מען ציטיילן אויף א וועג אז מען זאל געוואר ווערן וואס זענען די פריים נומערן וואס שטעלן ציזאם די נומער, און די סך הכל פון די נומערן וואס פרעזענטירן די חשבונות און גאדלס נומערן גייען אייביג אויסקומען די פריים נומערן פון וואס זיי זענען ארגענעיל ציזאמגעשטעלט געווארן, לאמיר ווייטער גיין מיט די משל פון 0=0, די נומערן וואס גייען ארויסקומען נאך א פריים פעקטערעזאציע גייט מיזן זיין זעקס צווייער'ס, פינעף דרייער'ס, און זעקס פינעווער'ס ווייל דאס זענען דאך די נומערן וואס שטעלן דאס ציזאם, יעצט קען מעןשוין וויסן פון וועלכע נומער די גאדל נומער באשטייט.
אין די אלע גאדל נומערן גייט זיין אמת'ע סטעיטמענטס (2=1+1) אבער עס גייט אויך זיין פאלטשע סטעיטמענטס (למשל 6=1+1) איז ווי אזוי ווייס איך אויף א חשבון אויב עס איז אמת אדער נישט ? וועגן דעם איז דא יסודות וואס יעדער איז מסכים, (אזוי ווי יאקלעט'ס און ראסלס מהלכים) ווי למשל "די סאקסעסער (צילייגער) פון סיי וועלכע נומער איז נישט 0" און די סימבאל פון די יסוד איז 0=xs~ און די גאדל נומער פאר די יסוד קומט אויס א ריזיגע נומער, יעצט; ווען איך וויל אויפווייזן אז די סאקסעסער פון איינס איז נישט 0 נעם איך די גאדל נומערן פון די יסוד וואס מען האט פריער אוועק געשטעלט און אויב נעם איך די גאדל נומער פון די חשבון וואס איך וויל אויפווייזן (0=s1 ~) איך מאך אז די צוויי גרויסע לאנגע נומערן זאלן ווערן די כח נומערן (3,2), און די סך הכל גייט אויסקומען די נומער וואס איז די גאדל נומער פון די ראי' אז די סאקסעסער פון 1 איז נישט 0, די נומער גייט זיין 73 מיליאן נומערן לאנג...
סך הכל פון די גאנצע פארדרייטע וועג פון מאטעמאטיק איז אז יעדע אמת'ע פאקט קען מען נאכגיין ביז צום אנפאנג און זען צי עס איז טאקע אמת און אויב יא איז דאס מיין ראי' דערצי.
יעצט, גאדל גייט דורך די גאנצע קאפ וויי מיטן ציל אנציקומען צי איין חשבון, די חשבון איז ווי פאלגענד:
"עס איז נישט דא קיין ראי' צי דעם חשבון מיטן גאדל נומער א" (באמת איז א' א לאנגע נומער, נאר וויבאלד אפצישרייבן די גאנצע גאדל נומער גייט אויפנעמען אפאר בלעטער, וועט מען עס רופן: א') די פראבלעם איז נאר אז די גאדל נומער פון אט די חשבון איז א'...
פון די חשבון קומט אויס: אז אויב די חשבון איז נישט אמת און עס איז יא דא א ראי' צי די חשבון מיטן גאדל נומער א' איז די גאנצע זאך וואס די האסט אויפגעוויזן מיט די ראי' איז נאר אז עס איז נישט דא קיין ראי',אלא מאי' איז טאקע נישט מעגליך צו ברענגען מאטאמאטישע פראף פאר סטעיטמענט "א"...
גאדל האט אויפגעוויזן אז די תירץ אויף הילבערט'סערשטע קשיא איז: ניין! עס גייט אייביג זיין אמת'עפאקטן און מאטעמאטיק, וואס גייט קיינמאל נישטהאבן קיין ראי'.
אפאר יאר שפעטער האט גאדל אויפגעוויזן אז די
תירץ אויף די צווייטע קשיא איז אויך ניין, די אויפווייז איז בערך די זעלבע פון די ערשטע נאר מיט אפאר קליינע שניים.
אבער ביז דערווייל האט נאך הילבערט געהאט זיין דריטע קשיא וואס ער האט געהאלטן אז די תירץ איז יא, "איז דא א וועג צי קענען אויסרעכענען מיט
מאטעמאטיק אויב א חשבון איז אמת ?" ד.ה. צי עס שטימט מיט די פאר יסודות וואס אויף דעם איז מאטעמאטיק געבויט.
די שאלה איז געבליבן אומפארענפערט פאר יארן אבער ווי אלעס איז צום סוף ארויפגעשווימען א תירץ.
און יאר 1936 האט א מאטעמאטיקער און ענדשעניר מיטן נאמען "עלן טארינג" ארויס געגעבן א טוץ פון פאפירן ווי ער האט געטענעט אז ער האט די תירץ צי הילבערטס דריטע קשיא, אבער כדי אויפציווייזן זיין תירץ האט ער געדארפט ערפינדן די קאמפיוטער. (נישט עכט געבויט, נאר אין זיינע געדאנקען)
און יענע צייטן האט א קאמפיוטער געמיינט א מענטש וואס זיין ארבעט איז צי אויסרעכענען שווערע חשבונות, אבער טארינג האט זיך
אויסגעמשלט אין זיינע מחשבות א קאמפיוטער וואס ארבעט אינגאנצן מעכאניש, די וועג ווי אזוי עס ארבעט איז אז עס איז דא אן אוועקגעשטעלטע סיסטעם וואס האט כללים ווי אזוי עס ארבעט דערנאך איז דא א לאנגע צעטיל מיט נומערן וואס יעדע נומער איז אדער א 1 אדער א 0 און מען לייגט אריין די צעטיל אין די מאשין און די מאשין הייבט אן צי ליינען די צעטיל, די מאשין ליינט איין נומער אויף אמאל, נאכן ליינען די נומער קען די מאשין טון איינע פון דריי זאכן, 1) טוישן די נומער פון א איינס צי א זירא אדער פון א זירא צי א איינס. 2) ליינען די נעקסטע נומער פון די רעכטע זייט. 3) ליינען די נעקסטע נומער פון די לינקע זייט. יעצט און וואס ווענד זיך וואס די מאשין גייט טון ? עס ווענד זיך און צוויי זאכן. 1) וועלכע כלל די מאשין פאלגט יעצט. 2) די נומער וואס די מאשין האט יעצט געליינט איז א איינס צי א זירא. די מאשין גייט מיט א סדר, למשל: לאמיר זאגן אז די מאשין איז געבויט געווארן אויף א דרייער סיסטעם דאס הייסט אז עס איז דא דריי כללים, וואס יעדע כלל באשטייט פון דריי אונסטרוקציעס 1) ביי וועלעכע נומער דארף מען קוקן אויף דיע כלל 2) די מאשין דארף ריקען די צעטל רעכטס אדער לינקס 3) וועלעכע פון די דריי כללים דארף מען פאלגן נעקסט.
לאמיר נעמען א משל אז די ערשטע כלל איז אז אויב די ערשטע נומער (נישט די ערשטע נומער אויפן צעטיל, נאר ערגעץ ווי אינמיטן די צעטיל דארט ווי די מאשין האט אנגעהויבן די ערשטע צי ארבעטן) איז געווען א איינס גייט זיך עס ריקן איין נומער צי לינקס אויב איז עס געווען א זירא גייט עס איבער שרייבן די נומער צי א איינס, דערנאך גייט מען צי די צווייטע רונדע, די כללים פון די צווייטע רונדע איז אז אויב עס איז א איינס גייט זיך עס ריקן איין נומער צי רעכטס, אבער אויב איז עס א זירא גייט זיך די מאשין אפשטעלן, דאס הייסט די סיסטעם איז געקומען צי א ענדע. דערנאך גייט עס צי די דריטע סעט פון כללים, ביי די דריטע רונדע גייט די מאשין טון איינס פון די פאלגענדע זאכן אויב איז עס א זירא גייט עס זיך ריקן לינקס אויב איז עס א איינס גייט עס איבער שרייבן די נומער צי א זירא, אין דערנאך גייט עס צוריק צי די כללים פון די ערשטע רונדע, אזוי קען די מאשין ארבעטן פאר שעות וואכן און חדשים ביז די סיסטעם קומט צי א ענדע, איינמאל די סיסטעם קומט צי א ענדע קען מען נעמען די קאוד פון איינסערס און זיראס וואס איז שוין דורך די פראצעדור פון די פאריגע מאשין און עס אריינלייגן און א מאשין וואס די כללים וויאזוי עס זאל ארבעטן איז נאך נישט אריין געפראגעמירט געווארן און אוועק געשטעלט, אבער איך לייג עס נישט ביי די פלאץ ווי די מאשין ליינט נאר מען לייגט עס אויף א עקסטערע פלאץ וואס דאס וועט מען רופן די "פראגרעמירינג אריינגאנג" און ווי נאר איך לייג אריין די צעטיל פון די פראגרעם קאוד (ד.ה. די תוצאה פון די ארבעט
פונעם פריערדיגע מאשין) וועט די אומפראגרעמירטע מאשין גלייך אנהייבן צי ארבעטן מיט די זעלבע כללים ווי די ערשטע מאשין.
פארשטייט זיך אז די מאשין מיט די דריי כללים איז זייער א פשוטע מאשין, און בעצם קען מען מאכן א מאשין וואס איז אסאך מער קאמפלעצירט און מיט אסאך מער כללים וואס וועט קענען טון אסאך מער קאמפלעצירטע אויפגאבעס ווי די דריי כללים'דיגע מאשין, ווי למשל פלאס, מיינעס, טיימס, אבער סיי וועלכע מאטעמאטישע חשבונות, אבער כדי צו פארשטיין די עיקר נקודה איז געניג צי רעדן פון א מאשין וואס האט נאר 3 כללים.
יעצט, טארינג האט געטראכט פון אזא מאשין: די מאשין זאל קענען נעמען א קאוד פון א אנדערע מאשין (נישט ביי די פרויגרעמינג אריינגאנג נאר ביי די פלאץ ווי עס ליינט) און דורך דעם וואס די מאשין ליינט עס זאל ער קענען פארזאגן צי אויב לייגט מען אריין די קאוד און א פראגרעמירטע מאשין גייט עס אמאל אנקומען צי א אפשטעל אדער עס גייט ווייטער אנגיין זיך צי ריקן רעכטס און לינקס פאר אייביג, (עס איז נישט וויכטיג ווי אזוי די מאשין ארבעט למעשה, נאר לאמיר זאגן אז עס איז דא אזא מאשין) יעצט טארינג האט געטראכט וואס וועט זיין אויב וועט מען ציטשעפענען צי די נייע מאשין נאך א מאשין וואס די גאנצע תפקיד פון די מאשין איז אז אויב מען לייגט אריין אין דעם "עס גייט סטאפן" געבט די מאשין ארויס "עס גייט גיין פאר אייביג" און אויב לייגט מען אריין דערין "עס גייט גיין פאר אייביג", סטאפט די מאשין גלייך יעצט נעם איך מאשין א' און מאשין ב' איך לייג עס אריין אין איין גרויסע מאשין די מאשין גייט מען רופן מאשין ג', יעצט גייט מען נעמען די קאוד פון מאשין ג' (וואס אויב מען לייגט עס אריין אין א אום געפראגרעמטע מאשין גייט די מאשין ארויסגעבן די זעלבע רעזאלטאטן ווי מאשין ג') און מען לייגט עס אריין אין סיי אין די פלאץ פון מאשין א' וואס ליינט, און סיי אין די פראגרעמינג אריינגאנג, קומט אויס אז מאשין א' דארף ארויס געבן די זעלבע רעזאלטאטן וואס מאשין ג' דארף ארויס געבן, אבער דא ווערט א שטיקל פראבלעם לאמיר באטראכטן און זען וואס גייט דא געשען.
מאשין א' הייבט אן ליינען די צעטיל פון נומערן און הייבט אן צי טראכטן "וואס גייט מאשין ג' ארויס געבן און פאל וואס מען לייגט אריין די נומערן וואס איך ליין יעצט?" לאמיר זאגן אז מאשין א' קומט צי א מסקנא
אז מאשין ג' גייט ארויס געבן אז און פאל פון די נומערן גייט א מאשין קיינמאל נישט גיין אהין אין צוריק, גייט מאשין א' ארויס געבן זיינע רעזאלטאטן אז די נומערן גייען אייביג גיין אהין און צוריק, אבער ציגעטשעפעט צי מאשין א' איז דאך דא מאשין ב' וואס ער נעמט אריין די רעזאלטאטן פון מאשין א' און ער טוישט עס צי פונקט פארקערטע רעזאלטאטן,
גייט אויס קומען אז מאשין ג' גייט ארויס געבן אז ווען מען לייגט אריין די סעט פון איינסערס און זיראס אין א מאשין גייט די מאשין צום סוף זיך אפשטעלן, קומט אויס אז מאשין א' האט ארויס געגעבן די פארקערטע רעזאלטאטן פון מאשין ג' אפילו עס איז פראגרעמירט מיטן פראגראם פון מאשין ג' !
די איינציגסטע וועג מסביר צי זיין אזא מציאות איז אז אזא מאשין ווי מאשין א' קען במציאות נישט עקסזעסטירן, דאס הייסט עס איז נישט דא עפעס וואס קען אויסרעכענען וואס א צווייטע זאך גייט טון, אויב די זאך וואס רעכענט עס אויס איז בעצם א חלק פון די זאך וואס ער פראבירט אויסצירעכענען.
היוצא לנו מזה איז אז עס איז נישט דא קיין וועג אויס צירעכענען מיט מאטעמאטיק אויב א מאטעמאטישע חשבון שטימט מיט די פאר יסודות פון מאטעמאטיק.אבער אזויפיל זענען מיר יא געוואר געווארן אז מאטאמאטיק איז נאך ווייט פון פארענדיגט…
בייגעלייגטע פיילס
לעצט רעדאגירט:
