טעסעלעישאנס און טיילינגס

[מי אני]

{זייענדיג אז קאווע שטיבל האט זיך פארמאכט, וועל איך אי״ה אין דעם אשכול ממשיך זיין מיין אשכול דארט, מיט תגובות איבער די טעמע פון מאטעמאטישע טעסעלעישאנס און טיילינגס}
​

עס קומט אויס ביי די פּענרוֺיס טיילינג אז טאמער מען היילייט די טיילס דערינען וואס זייערע זייטן זענען גענצליך פּאראלעל איינע מיט דאס אנדערע כזה:

דאן גייט דאס שאפן א פּענטאגריד. דאס איז אז איך גיי האבן 5 באזונדערע סעטס פון פּאראלעל ליניעס דערין כזה:

און דארט וואו די ליניעס פונעם גריד טוהן דורכגיין איינע דאס אנדערע, רעפּרעזענטירט וואו איך שטעל א טייל אזוי אז אירע זייטן זענען פּערפּענדיקיולער צו די ליינס פונעם גריד כזה:

(דערנאך שטעלט מען צאם די טיילס באהאפטן אין די שורה כנ״ל.) עס קומט אויס אז אין א פּענטאגריד וואו די ליינס גייען דורך איינע דאס צווייטע, שאפן זיי אדער אַן ענגעל פון 36⁰ אדער אַן ענגעל פון 72⁰, וועלכע זענען טאקע מכוון כנגד די צוויי סארטן פּענרוֺיס טיילס. און עס קומט אויס אז די רעישיאוֺ פון ווייטקייט פון איין 36⁰ ענגעל אינעם פּענטאגריד צום אנדערן, צו די ווייטקייט פון איין 72⁰ ענגעל אינעם פּענטאגריד צום אנדערן, קומט אלס נענטער צו צום גאלדענע רעישיאוֺ, וועלכעס איז דאך אַן איראציאנאלע נומער. ולכן איז די פּענרוֺיס טיילינג עיפּעריאדיש און חזר׳ט זיך נישט איבער געהעריג אזוי ווי אַן איראציאנאלע נומער.

כמובן אז מ׳קען מאכן כעין-פּענרוֺיס מיני טיילינגס מיוסד אויף גרידס מיט אנדערע נומערן פון סעטס פון פּאראלעל ליניעס. און צי זיי זענען עיפּעריאדיש וועט זיך ווענדן אין די רעישיאוס פון די ווייטקייט פון די ענגעלס וואס זי שאפט ווען די ליניעס גייען דורך וכנ״ל.

 

[מי אני]

די שטודיע ברענגט ארויס אז נאטור טוהט טעסעלעיטן די פּלעין מיט שׁעיפּס וואס זענען ״ווייך״ און האבן נישט עכט קיינע שארפע עקן. זיי ווייזן אז יעדעס געהעריגע שׁעיפּ וואס קען טעסעלעיטן די פּלעין האט מערערע ״ווייכע״ סארטן וואס קען דאס אויך טוהן; סיי אין 2D און סיי אין 3D. לדוגמא דא:

אינעם ערשטן שורה איז עס ״ווייכע״ טרייענגעלס, די נעקסטע שורה זענען ״ווייכע״ סקווערס, און די נעקסטע שורה זענען ״ווייכע״ העקסעגאנס.

 

[מי אני]

מ'האט געטראפן אין נאטור א סארט (טשירעל) מאלעקיול וואס איז אזויווי די איינשטיין טייל, וועלכעס טעסעלעיט די פּלעין (לכאורה וככל הנראה) עיפּעריאדיש.

 

[מי אני]

דריי פון די 3D פינעף פּלעטאניק סאַלידס [די טעטראַהיִדראן, אַקטעהיִדראן און אייקאַסעהיִדראן] זענען צאמגעשטעלט פון 2D (עקווילעטערעל) טרייענגעלס און איינס [די קיוּבּ] פון סקווערס. די 2D שׁעיפּס קענען טעסעלעיטן די פּלעין לגמרי. ולכן קומט אויס אז ווען איך אָנפאָלד די 3D שעיפּ אין צו 2D (און איך מאך קאַפּיס דערפון דאס צו מאדעלן), איז נישט שייך אז איך זאל קענען מאכן א גראדע ליין וואס לויפט פון איין ווערטעקס/עק צוריק צו זיך, אז עס זאל נישט דורכלויפן אַן אנדערן עק.

משא"כ די פיפטע, די דאָדעקאהידראן, איז צאמגעשטעלט פון 2D פּענטאגאנס וועלכע קענען נישט טעסעלעיטן א 2D פּלעין. ולכן קומט אויס אז מקען דערויף שאפן א גראדע ליין וואס לויפט פון איין ווערטעקס/עק און גייט דורך די גאנצע ביז ס'קומט צוריק, און לויפט נישט דורך קיין שום אנדערע ווערטעקס/עק.

ס'דא מערערע וועגן וויאזוי מ'קען דאס מאכן, ווי לדוגמא ווען די ליין קראָסט זיך אליינס איבער און גייט מערערע מאל ארום די שׁעיפּ.

 

[blender]

די יאר איז ענדגילטיג געפראווד געווארן די Kakeya Conjecture וואס זאגט אז יעדע Kakeya סעט גייט אייביג אויפנעמען די זעלבע נומבער פון דיימענטשענס ווי די ספעיס אין וואס די סעט איז.

א Kakeya סעט איז א מאטמאטישע טיארעטישע שעיפ וואס קומט ארויס נאכן פרעגן די פאלגנדע קשיא: אויב האסטו א פענסיל וואס ליגט אויפן טיש און דו ווילסט עס ארומדרייען אזוי אז די שפיץ פון די פענסיל זאל האבן געפוינטעד אין יעדע דירעקציע, וואס איז די שעיפ אין וואס דו זאלסט ארומדרייען די פענסיל אבער עס זאל אויפנעמען די ווייניגסטע שטח פון די טיש מעגליך? די ערשטע תירוץ וואס קומט גלייך ארויף איז אז מען זאל עס פשוט ארומדרייען אין א סורקל, אזוי:

אבער בעצם איז מעגליך צו קאווערן א שטח וואס נעמט נאר אויף האלב פון א סורקל און נאכאלטץ האבן געפוינטעד אין יעדע דירעקציע, אזוי:

און אזוי איז דא נאך אסאך וועגן פון עס מאכן נאך און נאך קלענער, עד כדי כך אז אין יאר 1921 האט די רוסישע מאטאמאטיקער Abram Besicovitch געוויזן אז דורכן פירן די ליין אין א גאר קאמפליצירטע סעריע פון מאווס איז אפי' מעגליך צו האבן אזא שעיפ וואס נעמט בכלל נישט אויף קיין פלאץ, אזוי:

די טרייענגל אינמיטן איז נישט קיין עריע וואס די ליין איז געפארן, עס איז נאר א קלאסטער פון אסאך גראדע ליינס וואס נעמען נישט אויף קיין פלאץ.
אין די 1970'ס האט מאטאמאטיקער Roy o. Daveis געטענ'עט אז אפי' עס נעמט נישט אויף קיין שום פלאץ וועט עס נאכאלטץ דארפן צוקימען צו אזויפיל דיימענטשענס ווי די ספעיס אין וואס די שעיפ איז אין, ווי למשל די בילד פון אויבן, מוז צוקימען צו צוויי דיימענטשענס, ער האט אבער נישט געהאט קיין פראוו פאר זיין קלעים.
מיט די צייט זענען צוגעקימען אסאך אימפלעקאציעס וואס אויב די קלעים איז אמת וועט דאס אסאך אויסמאכן צו וועיוו מעקעניקס (ווי אזוי וועיווס שפרייטען זיך אויס אין ליידיגע ספעיס) און אסאך אנדערע זאכן.
די יאר איז ענדליך ערשינען א פאפיר וואס פראווט אז די קלעים איז אמת אפי אין 3D ספעיס.